[論文レビュー] Cartesian Cubical Computational Type Theory: Constructive Reasoning with Paths and Equalities

Carlo Angiuli, Kuen-Bang Hou+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 14被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、ユニバーサルなカーン宇宙、正確な等価性型、および前型を備えたデカルト型理論を用いた、高次元型理論の構成的計算解釈を提示する。決定的動作意味論を用いてブール型の正規化を確立し、閉じたブール項が真または偽に評価されることを保証することで、ユニバーサル性と高次インダクティブ型を完全にサポートするホモトピー型理論の計算的基盤を提供する。

ABSTRACT

This is the third in a series of papers extending Martin-Löf's meaning explanations of dependent type theory to a Cartesian cubical realizability framework that accounts for higher-dimensional types. We extend this framework to include a cumulative hierarchy of univalent Kan universes of Kan types, exact equality and other pretypes lacking Kan structure, and a cumulative hierarchy of pretype universes. As in Parts I and II, the main result is a canonicity theorem stating that closed terms of boolean type evaluate to either true or false. This establishes the computational interpretation of Cartesian cubical higher type theory based on cubical programs equipped with a deterministic operational semantics.

研究の動機と目的

• 構成的で決定的意味論を備えた計算型理論に、累積的階層のユニバーサルなカーン宇宙と前型を拡張すること。
• 判断的等価性を内部化するがカーン構造を必要としない正確な等価性型を形式化すること。
• 決定的動作意味論を備えた立方体的で構成的な型理論において、閉じたブール項の正規化を確立すること。
• 立方体的プログラムと実現可能性に基づくユニバーサル型理論の計算的意味論を提供すること。

提案手法

• 決定的動作意味論を備えたプログラム間の次元インデックス付き関係として型を定義し、プログラムの振る舞いの行動的仕様として扱う。
• 次元名、面、対角線、弱化を備えたデカルト立方体を用い、次元レベルでの等式推論を一切用いずに、高次元構造をモデル化する。
• カーン型のためのカーン操作（射影coerce: coe と同調合成hcom）を導入し、ボックス完成と経路の一貫性を保証する。
• カーン型とは異なる前型（非カーン型）と区別し、一般にはカーンでないが、特定の状況（例：nat）ではカーンである可能性がある正確な等価性型 EqA(M,N) を導入する。
• カーン型と前型の階層のためのユニバーサル宇宙 UKan_j と Upre_j を構成し、RedPRL でユニバーサリティを証明する。
• 依存関数型、積型、経路型、およびグルー型（Vr(A,B,E)）を含む型生成子を形式化し、等価性および合成則を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的意味論を備えた構成的計算型理論において、ユニバーサルな宇宙をどのように構成できるか？
• RQ2 カーン型と非カーン型を両方サポートする立方体型理論において、正確な等価性型の役割は何か？
• RQ3 経路と等価性を備えた高次元型理論において、ブール型の正規化をどのように確立できるか？
• RQ4 カーン操作（coe, hcom）をカーンでない型に許容した場合の計算的結果は何か？
• RQ5 一般的な型生成子の下で閉じるよう保証しつつ、前型とカーン型の区別をどのように形式化できるか？

主な発見

• 本論文は正規化定理を証明する：任意の閉じたブール型の項は、決定的動作意味論のもとで、真または偽に評価される。
• ユニバーサルなカーン宇宙 UKan_j が構成され、RedPRL でユニバーサリティが証明されており、Git リポジトリで形式的証明を入手可能である。
• 正確な等価性型 EqA(M,N) は一般にはカーンでないが、A が離散的カーン型（例：nat）である場合にはカーンである可能性がある。
• 次元パラメータ化されたコンストラクタと所定の境界を備えた高次インダクティブ型が、例えば base と loopx で生成される円周 S1 によってサポートされる。
• 本システムは、すべての経路が反射的等価性と正確に等しい離散的カーン型（例：nat, bool）と一般カーン型を区別する。
• RedPRL 実装は、線型型（x:dim）→ A と次元抽象化のための洗練された判断形式を拡張し、実用的利便性が向上している。