[論文レビュー] Cartesian Differential Comonads and New Models of Cartesian Differential Categories

Sacha Ikonicoff, Jean-Simon Pacaud Lemay|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2021

Mathematical Control Systems and Analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コクリスリー圏がカルテシアン微分圏であるようなコモナド、すなわちカルテシアン微分コモナドを導入する。これにより、微分圏コモナドからカルテシアン微分圏を構成する方法が一般化される。また、べき級数、分割冪代数、ジンビエル代数を用いて新しい例を構成し、従来の微分圏を超えた微分のカテゴリカル意味論を拡張する。

ABSTRACT

Cartesian differential categories come equipped with a differential combinator that formalizes the derivative from multi-variable differential calculus, and also provide the categorical semantics of the differential $\\lambda$-calculus. An important source of examples of Cartesian differential categories are the coKleisli categories of the comonads of differential categories, where the latter concept provides the categorical semantics of differential linear logic. In this paper, we generalize this construction by introducing Cartesian differential comonads, which are precisely the comonads whose coKleisli categories are Cartesian differential categories, and thus allows for a wider variety of examples of Cartesian differential categories. As such, we construct new examples of Cartesian differential categories from Cartesian differential comonads based on power series, divided power algebras, and Zinbiel algebras.

研究の動機と目的

• 微分圏コモナドからカルテシアン微分圏を構成する方法を一般化し、そのコクリスリー圏がカルテシアン微分圏であるようなコモナドを同定すること。
• 微分圏から導かれるもの以外のカルテシアン微分圏のより広いクラスの例を提供すること。
• べき級数、分割冪代数、ジンビエル代数といった新しい代数的構造を、カルテシアン微分コモナドの源泉として探求すること。
• カルテシアン微分コモナドの文脈において、今後の統合、原始関数、およびエイレンバーグ＝ムーア圏に関する研究の基盤を築くこと。

提案手法

• コクリスリー圏がカルテシアン微分構造を引き継ぐようなコモナドとして、カルテシアン微分コモナドを定義する。
• 導関数変換とコモナド構造写像を用いて、コクリスリー圏における微分結合子を構成する。
• カルテシアン微分コモナドのコクリスリー圏がカルテシアン微分圏の7つの公理を満たすことを示す。
• R-加群の圏における削減されたべき級数、分割冪代数、ジンビエル代数の上に、カルテシアン微分コモナドの明示的構成を提供する。
• 得られた微分結合子が、合成則や偏導関数の対称性といった、多変数微積分の標準的恒等式を満たすことを検証する。
• コクリスリー構成を用いて滑らかな写像（コクリスリー写像として）を上げ、それらの導関数を圏論的に定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下でコモナドのコクリスリー圏がカルテシアン微分圏となるのか。
• RQ2 べき級数や分割冪代数といった代数的構造から、カルテシアン微分圏の新しい例をどのように構成できるか。
• RQ3 ジンビエル代数はカルテシアン微分コモナド構造を支持できるか。また、その誘導された微分結合子はどのような形になるか。
• RQ4 カルテシアン微分コモナドと、既知のカルテシアン微分圏が微分（ストレージ）圏のコクリスリー圏に埋め込まれる関係との間にはどのような関係があるか。
• RQ5 カルテシアン微分コモナドの文脈において、統合や原始関数をどのように一般化できるか。

主な発見

• カルテシアン微分コモナドとは、まさにそのコクリスリー圏がカルテシアン微分圏であるようなコモナドであり、微分圏から標準的な構成を一般化するものである。
• R-加群の圏における削減されたべき級数コモナドのコクリスリー圏はカルテシアン微分圏であり、べき級数写像の導関数は標準的な多変数微分として定義される。
• R-加群の圏における分割冪代数コモナドのコクリスリー圏はカルテシアン微分圏であり、微分結合子は分割冪多項式の導関数に対応する。
• R-加群の圏におけるジンビエル代数コモナドのコクリスリー圏はカルテシアン微分圏であり、微分結合子はジンビエル微分として与えられる：∂ΓV(p)(x,y,x*,y*) = x*⊗y + y⊗x* + y*⊗x + x⊗y*。
• 本稿では、べき級数およびジンビエル代数のケースにおける積分結合子変換の候補を同定し、微分の理論を統合の理論と統合する道筋を示唆する。
• 今後の研究において、カルテシアン微分コモナドのエイレンバーグ＝ムーア圏が接続圏（tangent category）である可能性が示唆されており、既知の微分圏からの一般化を図る。