[論文レビュー] Casimir densities induced by a sphere in the hyperbolic vacuum of de Sitter spacetime

A. A. Saharian, T. A. Petrosyan|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2021

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect参考文献 60被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、負の曲率をもつ空間的断片をもつ(D+1)次元のde Sitter時空における球対称境界によって誘導される量子真空中の効果を検討し、一般の曲率結合をもつ質量のあるスカラー場がロビン境界条件に従う状況を焦点とする。完全なモード関数の集合とハダマール関数を用いて、双曲的真空（ミルン宇宙における共形真空に一致することが示された）におけるスカラー場の二乗の真空期待値（VEVs）およびエネルギー運動量テンソルの計算が行われる。主な結果として、境界が存在しない幾何学とは異なり、球体によって完全に誘導される半径方向のエネルギーフラックスが存在することが判明し、その方向はロビンパラメータおよび半径座標に依存して内向きまたは外向きのどちらにもなる。曲率効果は遅い時空的時期に顕著になり、VEVsは場の質量および結合パラメータに応じて単調に減少するか、振動減衰を示す。

ABSTRACT

Complete set of modes and the Hadamard function are constructed for a scalar field inside and outside a sphere in (D+1)-dimensional de Sitter spacetime foliated by negative constant curvature spaces. We assume that the field obeys Robin boundary condition on the sphere. The contributions in the Hadamard function induced by the sphere are explicitly separated and the vacuum expectation values (VEVs) of the field squared and energy-momentum tensor are investigated for the hyperbolic vacuum. In the flat spacetime limit the latter is reduced to the conformal vacuum in the Milne universe and is different from the maximally symmetric Bunch-Davies vacuum state. The vacuum energy-momentum tensor has a nonzero off-diagonal component that describes the energy flux in the radial direction. The latter is a purely sphere-induced effect and is absent in the boundary-free geometry. Depending on the constant in Robin boundary condition and also on the radial coordinate, the energy flux can be directed either from the sphere or towards the sphere. At early stages of the cosmological expansion the effects of the spacetime curvature on the sphere-induced VEVs are weak and the leading terms in the corresponding expansions coincide with those for a sphere in the Milne universe. The influence of the gravitational field is essential at late stages of the expansion. Depending on the field mass and the curvature coupling parameter, the decay of the sphere-induced VEVs, as functions of the time coordinate, is monotonic or damping oscillatory. At large distances from the sphere the fall-off of the sphere-induced VEVs, as functions of the geodesic distance, is exponential for both massless and massive fields.

研究の動機と目的

• 負の曲率をもつ空間的断片をもつ(D+1)次元のde Sitter時空における質量のあるスカラー場の量子真空中の揺らぎに、球対称境界が与える影響を調査すること。
• ロビン境界条件の下で、球の内部および外部におけるスカラー場に対して完全なモード関数の集合とハダマール関数を構築すること。
• 双曲的真空状態におけるスカラー場の二乗およびエネルギー運動量テンソルの真空期待値（VEVs）に起因する球体に起因する寄与を分離し、分析すること。
• 時空の曲率および境界条件が、宇宙論的に関係する幾何学における真空偏極およびエネルギーフラックスのダイナミクスに与える影響を検討すること。

提案手法

• 本研究では、一定の負の曲率をもつ双曲的空間で foliate された(D+1)次元のde Sitter時空を用い、空間幾何に適合した座標系を採用する。
• 質量のあるスカラー場が一般の曲率結合をもつ場合のクライン=ゴルドン方程式をこの背景で解くことにより、完全なモード関数の集合が導出される。
• 境界が存在しない幾何学におけるハダマール関数が構築され、その後、境界におけるモード関数の一致を用いて球体に起因する寄与を分離する。
• 双曲的真空はミルン宇宙における共形真空として特定され、最大対称なバンド・デーヴィス真空とは異なる。
• モード和表現およびハダマール関数を用いて、スカラー場の二乗およびエネルギー運動量テンソルの真空期待値（VEVs）が計算される。
• エネルギー運動量テンソルの非対角成分から半径方向エネルギーフラックスが抽出され、これは境界が存在しない場合にゼロとなる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球対称境界は、負の曲率をもつ空間的断片をもつde Sitter時空における質量のあるスカラー場の真空状態をどのように変化させるか？
• RQ2 双曲的真空における球体に起因するスカラー場の二乗およびエネルギー運動量テンソルの真空期待値（VEVs）は何か？
• RQ3 球体の存在が真空中に半径方向エネルギーフラックスを誘導するか？その方向は何かに依存するか？
• RQ4 時空の曲率および境界条件は、誘導されたVEVsの遅い時空的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 誘導されたVEVsは、球体からの測地的距離に対してどのように依存するか？

主な発見

• 本設定における双曲的真空はミルン宇宙における共形真空に対応し、最大対称なバンド・デーヴィス真空とは異なる。
• 真空エネルギー運動量テンソルは非ゼロの非対角成分を示し、これは球体によって完全に誘導される半径方向エネルギーフラックスを示しており、境界が存在しない幾何学では観察されない。
• エネルギーフラックスの方向は、ロビン境界条件パラメータおよび半径座標に応じて内向きまたは外向きのどちらにもなる。
• 初期の宇宙的時期には曲率効果が弱く、VEVsの一次近似挙動はミルン宇宙におけるものと一致する。
• 遅い時期には時空の曲率の影響が顕著になり、場の質量および曲率結合パラメータに応じて、VEVsは単調に減少するか、減衰振動を示す。
• 球体からの距離が大きい領域では、場が質量ゼロであっても非ゼロであっても、球体に起因するVEVsは測地的距離とともに指数関数的に減衰する。