[論文レビュー] Casimir energy in the MIT bag model

E. Elizalde, M. Bordag+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 1997

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect参考文献 7被引用数 55

ひとこと要約

本稿では、ゼータ関数正則化を用いて、MITバッグ模型内に閉じ込められた質量のあるディラックフェルミオンの再正則化されたカシミールエネルギーを精確に計算する。内部領域と外部領域における発散を別々に取り扱うことで、完全で有限な結果が得られ、大質量においては質量の逆数のべき乗に従う振る舞いを示す。

ABSTRACT

The vacuum energies corresponding to massive Dirac fields with the boundary conditions of the MIT bag model are obtained. The calculations are done with the fields occupying the regions inside and outside the bag, separately. The renormalization procedure for each of the situations is studied in detail, in particular the differences occurring with respect to the case when the field extends over the whole space. The final result contains several constants undergoing renormalization, which can be determined only experimentally. The non-trivial finite parts which appear in the massive case are found exactly, providing a precise determination of the complete, renormalized zero-point energy for the first time, in the fermionic case. The vacuum energy behaves like inverse powers of the mass for large masses.

研究の動機と目的

• 質量のあるディラックフェルミオンがMITバッグ模型に閉じ込められた場合の、完全で再正則化された零点エネルギーを計算すること。
• 境界がある状況下で生じる表面項、曲率項、体積項に起因する非自明な発散の再正則化を扱うこと。
• これまで未解決であったフェルミオン系におけるカシミールエネルギーの有限部分を、正確な解析的決定を提供すること。
• 特に大質量極限におけるカシミールエネルギーの振る舞い、特にフェルミオン質量に依存する性質を明確にすること。

提案手法

• 紫外発散を体系的かつ一貫して取り扱うために、ゼータ関数正則化を用いる。
• 球形バッグの内部領域と外部領域からの真空エネルギー寄与を別々に計算する。
• 補助関数 $ f(a;b) $ の再帰関係と明示的表現を用いて、ゼータ関数の成分 $ A_i(s) $ を評価する。
• 特に質量ゼロの場合との違いに注意を払い、有限部分を明確に分離する詳細な再正則化手順を適用する。
• フェルミ・ディラック分布 $ 1/(1+e^{2 au u}) $ を含む積分表現を用いて、得られた式を数値的に評価する。
• ゼータ関数が $ s = -1/2 $ で示す解析的構造を分析することで、カシミールエネルギーの有限部分の閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MITバッグ模型内での質量のあるディラックフェルミオンに対する再正則化カシミールエネルギーの正確な形は何か？
• RQ2 表面項、曲率項、体積項の発散は真空エネルギーにどのように寄与するか。また、それらを一貫して再正則化する方法は何か？
• RQ3 質量のある場合、特に大質量極限においてカシミールエネルギーはどのように質量に依存するか？
• RQ4 質量のあるフェルミオン系と質量ゼロのフェルミオン系との再正則化手順の違いは何か？
• RQ5 個々の領域における発散があるにもかかわらず、有限で物理的なカシミールエネルギーの部分を曖昧さなく抽出できるか？

主な発見

• 本稿は、MITバッグ模型内での質量のあるフェルミオンに対する完全で再正則化された零点エネルギーを初めて正確に決定した。
• カシミールエネルギーの有限部分は、大質量において $ \sim 1/m^n $ のように振る舞い、主項は $ 1/m^3 $ のスケーリングを示す。
• 有限性を達成するための再正則化定数は、理論のみでは決定できない。実験によってのみ固定可能である。
• 内部領域と外部領域における発散は個別には相殺されない。有限な結果が得られるのは、両者の和のみである。これにより、個別に正則化する必要がある。
• ゼータ関数正則化の使用により、発散に対する体系的かつ数学的に整合性のある取り扱いが可能となり、明確に定義された物理的結果が得られた。
• 再帰関係と $ f(a;b) $ 関数の完全なリストを用いて、$ A_i(s) $ の係数の明示的表現が導出され、エネルギーの数値評価が可能となった。