[論文レビュー] Castelnuovo-Mumford regularity of ladder determinantal varieties and patches of Grassmannian Schubert varieties

Jenna Rajchgot, Colleen Robichaux+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2022

Advanced Combinatorial Mathematics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1432を避けるおよびバクシラリーな置換によって添え字付けられたグロテンディック多項式の次数公式を導出し、片側混合ラダー行列式的イデアルおよびグラスマンニアンシューベルト多様体のパッチのカステルヌーヴォ-ムーリー正則性の明示的で組合せ的な公式を提供する。主な貢献は、ロス図およびヤング図における対角線および反対角線のパスサイズに基づく正則性公式であり、クムミニ＝ラクシュミバイ＝サストリー＝セーシャドリの予想を是正するものである。

ABSTRACT

We give degree formulas for Grothendieck polynomials indexed by vexillary permutations and $1432$-avoiding permutations via tableau combinatorics. These formulas generalize a formula for degrees of symmetric Grothendieck polynomials which appeared in previous joint work of the authors with Y. Ren and A. St. Dizier. We apply our formulas to compute Castelnuovo-Mumford regularity of classes of generalized determinantal ideals. In particular, we give combinatorial formulas for the regularities of all one-sided mixed ladder determinantal ideals. We also derive formulas for the regularities of certain Kazhdan-Lusztig ideals, including those coming from open patches of Schubert varieties in Grassmannians. This provides a correction to a conjecture of Kummini-Lakshmibai-Sastry-Seshadri (2015).

研究の動機と目的

• 組合せ的方法を用いて、片側混合ラダー行列式的イデアルのカステルヌーヴォ-ムーリー正則性を計算すること。
• グラスマンニアン行列シューベルト多様体に関する先行研究を、より一般的な行列式的イデアルのクラスへと拡張すること。
• シューベルト多様体におけるカジダン＝ルシュツィー・イデアルの正則性に関するクムミニ＝ラクシュミバイ＝サストリー＝セーシャドリの予想を是正・精緻化すること。
• カジダン＝ルシュツィー・イデアルを介して、ラダーマトリクス的イデアルとグラスマンニアンシューベルト多様体との間の関係を確立すること。
• テーブルァー組合せ論と置換パターンを用いて、正則性の明示的で計算可能な公式を提供すること。

提案手法

• テーブルァー組合せ論を用いて、1432を避けるおよびバクシラリーな置換によって添え字付けられたグロテンディック多項式の次数公式を導出する。
• ロス図およびヤング図における部分集合σₖ(w)およびτₖ(v)を定義し、対角線および反対角線のパスサイズを計算する。
• 1432を避ける置換に対しては reg(S/I_w) = ∑ₖ ρ_d(σₖ(w)) を、バクシラリーな置換に対しては reg(S/I_v) = ∑ₖ ρ_a(τₖ(v)) を用いる。
• グラスマンニアン置換uおよびgを介して、ラダーマトリクス的イデアルとカジダン＝ルシュツィー・イデアルJ_{u,g}との関係を活用する。
• レナート（2007）の対称グロテンディック多項式に関する結果を非対称な場合へと拡張する。
• 恒等式 deg(𝐺_𝑤) = #D(w) + reg(S/I_w) を用いて、次数公式から正則性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 片側混合ラダー行列式的イデアルのカステルヌーヴォ-ムーリー正則性は何か？
• RQ2 グラスマンニアンシューベルト多様体のパッチの正則性は、どのように組合せ的に計算できるか？
• RQ3 1432を避けるおよびバクシラリーな置換に対するグロテンディック多項式の次数は、図形的パス数によって表現できるか？
• RQ4 クムミニ＝ラクシュミバイ＝サストリー＝セーシャドリのカジダン＝ルシュツィー・イデアルの正則性に関する予想は成り立つか？成り立たない場合、正しい公式は何か？
• RQ5 グラスマンニアン設定におけるラダーマトリクス的イデアルとカジダン＝ルシュツィー・イデアルとの関係は何か？

主な発見

• 1432を避ける置換行列シューベルト多様体の座標環の正則性は、∑ₖ ρ_d(σₖ(w)) で与えられ、ここでρ_dはσₖ(w)における最大の対角線を測定する。
• バクシラリーな置換に対しては、正則性が∑ₖ ρ_a(τₖ(v)) で与えられ、これは片側混合ラダー行列式的イデアルの公式を提供する。
• 1432を避ける置換wに対するグロテンディック多項式𝔾_wの次数は、#D(w) + reg(S/I_w) に等しく、ここで#D(w)はコクセター長さである。
• 片側ラダーマトリクス的イデアルI_L,rの正則性は、∑ₖ ρ_a(τₖ(v)) に等しく、ここでvはラダーのマークされた点とランクによって定義される関連バクシラリー置換である。
• 本稿では、クムミニ＝ラクシュミバイ＝サストリー＝セーシャドリの予想を是正し、特定のカジダン＝ルシュツィー・イデアルJ_{u,g}の正則性が、以前に予想された式ではなく∑ₖ ρ_a(τₖ(v)) で与えられることを示している。
• 片側ラダーマトリクス的イデアルのK多項式は、関連するバクシラリー置換のグロテンディック多項式に等しく、これにより図形的パス解析を用いた正則性の計算が可能になる。