[論文レビュー] Castelnuvo Function, Zero-dimensional Schemes and Singular Plane Curves

Gert–Martin Greuel, Christoph Lossen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、曲線の特異点の不変量とCastelnuovo関数の性質を用いて、指定された型の特異点をもつ次数dの平面曲線の族がT-滑らか（期待される次元をもつ滑らかなもの）または既約であるための新しい十分条件を確立する。特異点における無限に近接する点のクラスターから生じる0次元的スキームのHilbertスキームの既約性を証明し、P²における0次元的スキームの理想層に関する新しい消失定理を導出し、特に特異点をもつ曲線において、補集合の基本群がすべての成分で同一のアーベル群のままである場合に応用する。

ABSTRACT

We study families V of curves in P2(C) of degree d having exactly r singular points of given topological or analytic types. We derive new sufficient conditions for V to be T-smooth (smooth of the expected dimension), respectively to be irreducible. For T-smoothness these conditions involve new invariants of curve singularities and are conjectured to be asymptotically proper, i.e., optimal up to a constant factor. To obtain the results, we study the Castelnuovo function, prove the irreducibility of the Hilbert scheme of zero-dimensional schemes associated to a cluster of infinitely near points of the singularities and deduce new vanishing theorems for ideal sheaves of zero-dimensional schemes in P2. Moreover, we give a series of examples of cuspidal curves where the family V is reducible, but where ss1(P2nC) coincides (and is abelian) for all C 2 V .

研究の動機と目的

• 特異平面曲線の族がT-滑らかまたは既約であるための十分条件を同定すること。
• T-滑らか性を制御する新しい曲線特異点の不変量を導入すること。
• 特異点における無限に近接する点のクラスターに関連するHilbertスキームの既約性を証明すること。
• P²における0次元的スキームの理想層に関する新しい消失定理を導出すること。
• 特異点をもつ曲線の族が既約でない場合でも、アーベル基本群がすべての成分で同型となるような場合を分析すること。

提案手法

• 曲線特異点の不変量を導出するためにCastelnuovo関数を分析すること。
• 特異点における無限に近接する点のクラスターから生じる0次元的スキームを研究すること。
• このようなスキームをパラメトライズするHilbertスキームの既約性を証明すること。
• P²における理想層の新しい消失定理を確立するために、コhomologicalな技法を適用すること。
• 変形理論およびモジュライ空間の技法を用いて、曲線族の次元および滑らかさを評価すること。
• 既約でないがアーベル基本群が同一の特異点をもつ曲線族の具体的な例を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの特異点の不変量が、平面曲線族がT-滑らかであるかどうかを決定するか？
• RQ2 どのような条件下で、指定された特異点をもつ曲線族が既約になるか？
• RQ3 Castelnuovo関数は、特異点の幾何学およびモジュライ空間にどのように関係するか？
• RQ4 無限に近接する点のクラスターに関連する0次元的スキームのHilbertスキームがいつ既約になるか？
• RQ5 特異点をもつ曲線族は、既約でない場合でも、補集合の基本群が同型のアーベル群のままであることがあるか？

主な発見

• 特異点の不変量を用いてT-滑らか性の新しい十分条件が導出され、これが漸近的に適切であると予想されている。
• 無限に近接する点のクラスターに関連する0次元的スキームのHilbertスキームが既約であることが証明された。
• P²における0次元的スキームの理想層に関する新しい消失定理が確立された。
• 既約でないが、補集合の基本群がすべての成分でアーベルかつ同一の特異点をもつ曲線族の例が構成された。
• Castelnuovo関数が、曲線族の次元および滑らかさを制御する中心的な役割を果たすことが示された。
• 提案されたT-滑らか性条件は、定数倍の誤差の範囲でほぼ最適であることが示唆され、漸近的に鋭いものであると予想されている。