[論文レビュー] Catalan's intervals and realizers of triangulations

Olivier Bernardi, Nicolas Bonichon|ArXiv.org|Apr 27, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非交差 Dyck パath の対（Stanley 開区間）と三角形分割の実現子の間の双対写像 $Φ$ の簡略化された記述を提示する。$Φ$ が Tamari 開区間と最小実現子の間の双対写像に制限されることを証明し、Tamari 開区間と三角形分割の間の直接的な双対的対応を確立するとともに、Kreweras 開区間と最小かつ最大の両方の性質をもつ実現子の間の双対的対応を示し、三進木の列挙公式に対する新しい双対的証明をもたらす。

ABSTRACT

The Stanley lattice, Tamari lattice and Kreweras lattice are three remarkable orders defined on the set of Catalan objects of a given size. These lattices are ordered by inclusion: the Stanley lattice is an extension of the Tamari lattice which is an extension of the Kreweras lattice. The Stanley order can be defined on the set of Dyck paths of size $n$ as the relation of \emph{being above}. Hence, intervals in the Stanley lattice are pairs of non-crossing Dyck paths. In a former article, the second author defined a bijection $Φ$ between pairs of non-crossing Dyck paths and the realizers of triangulations (or Schnyder woods). We give a simpler description of the bijection $Φ$. Then, we study the restriction of $Φ$ to Tamari's and Kreweras' intervals. We prove that $Φ$ induces a bijection between Tamari intervals and minimal realizers. This gives a bijection between Tamari intervals and triangulations. We also prove that $Φ$ induces a bijection between Kreweras intervals and the (unique) realizers of stack triangulations. Thus, $Φ$ induces a bijection between Kreweras intervals and stack triangulations which are known to be in bijection with ternary trees.

研究の動機と目的

• 非交差 Dyck パath の対と三角形分割の実現子の間の双対写像 $Φ$ を簡略化し、再解釈すること。
• $Φ$ を Tamari 開区間への制限として調べ、それに対応する実現子を特徴づけること。
• $Φ$ を Kreweras 開区間への制限として分析し、関連する実現子を同定すること。
• 既知の Tamari 開区間および Kreweras 開区間の数え上げ公式に対して双対的証明を与えること。
• Tamari 開区間と三角形分割の間、および Kreweras 開区間と三進木の間の直接的な対応を確立すること。

提案手法

• パスの操作と木の再構成に基づく、より単純な幾何的構成を用いて、非交差 Dyck パath の対と実現子の間の双対写像 $Φ$ を再定式化すること。
• Dyck パスの比較とパス変換を用いて、Stanley, Tamari, Kreweras のラティスにおける被覆関係を定義すること。
• 実現子の2つの木における親-子関係を用いて、最小および最大の実現子を特徴づけること。
• 帰納法とパス変形技術を用いて、局所的変換によって Dyck パスを変更しても、対応する実現子の最小性および最大性が保たれることを示すこと。
• パス変更後に得られる実現子 $R'$ が最小かつ最大であるための必要十分条件が、$Q'$ が Kreweras ラティスにおいて $Q$ を被覆することであることを証明すること。
• Lindström–Gessel–Viennot の補題を用いて Stanley 開区間の数を導出し、母関数を用いて Tamari 開区間の数え上げを確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非交差 Dyck パスの対と三角形分割の実現子の間の双対写像 $Φ$ をどのように簡略化し、再表現できるか？
• RQ2 双対写像 $Φ$ による Tamari 開区間に対応する実現子のクラスは何か？
• RQ3 双対写像 $Φ$ による Kreweras 開区間に対応する実現子のクラスは何か？
• RQ4 既知の Tamari 開区間および Kreweras 開区間の数え上げ公式を、$Φ$ を通じて双対的証明で与えることは可能か？
• RQ5 どの三角形分割が最小かつ最大の両方の性質をもつ実現子をもつのか？それらは三進木とどのように関係するか？

主な発見

• 双対写像 $Φ$ は、Tamari 開区間と三角形分割の最小実現子の間の1対1対応を誘導し、公式 $|\mathcal{L}^{T}_{n}| = \frac{2(4n+1)!}{(n+1)!(3n+2)!}$ の双対的証明を確立する。
• すべての三角形分割は一意に最小実現子をもつため、双対写像 $Φ$ は Tamari 開区間と三角形分割の間の直接的な双対写像に制限される。
• 双対写像 $Φ$ は、Kreweras 開区間と最小かつ最大の両方の性質をもつ実現子の間の1対1対応を誘導し、それらが三進木と双対的であることが示される。
• 最小かつ最大の両方の性質をもつ実現子の特徴づけは、公式 $|\mathcal{L}^{K}_{n}| = \frac{1}{2n+1}\binom{3n}{n}$ の新しい双対的証明を導く。
• 局所的パス操作により Dyck パス $Q$ を $Q'$ に変更したときの得られる実現子 $R'$ が最小かつ最大であるための必要十分条件は、$Q'$ が Kreweras ラティスにおいて $Q$ を被覆することである。
• 帰納法とパス変形を用いて、変更後の実現子 $R'$ が最小性および最大性のための必要な親-先祖関係を満たすことを示している。