[論文レビュー] Categorical Constructions and the Ramsey Property

Dragan Mašulović, Lynn Scow|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限構造の圏における圏同値および随伴に関して、ラムゼー性とその双対が不変であることを、初等的な圏論を用いて示し、組合せ論的結果を一般化し、圏論の言語を含まない形で新たなラムゼー型定理を導出する。主な貢献は、圏同値に関してラムゼー性が真に圏的不変量であることを証明することにあり、これによりラムゼー性が対象そのものに依存する性質ではなく、圏論的構造そのものに依存することを示している。

ABSTRACT

It has become obvious in the recent development that the structural Ramsey property is a categorical property: it depends not only on the choice of objects, but also on the choice of morphisms involved. In this paper we explicitely put the Ramsey property and the dual Ramsey property in the context of categories of finite structures and investigate the invariance of these properties under some standard categorical constructions. We use elementary category theory to generalize some combinatorial results and using the machinery of very basic category theory provide new combinatorial statements (whose formulations do not refer to category-theoretic notions).

研究の動機と目的

• 有限構造の圏におけるラムゼー性およびその双対を形式化し、射の役割に特に注目する。
• ラムゼー性が有限構造の圏における随伴に関してどのように振る舞うかを調査する。
• ラムゼー性が圏同値に関して不変であることを示し、それが真の圏的不変量であることを確立する。
• 基本的な圏論を用いて、圏論的言語を含まない形で新たな組合せ論的ラムゼー型の命題を導出する。
• 積ラムゼー定理を一般化し、ラムゼー性を持つ有限圏の積が、同様にラムゼー性を有することを示す。

提案手法

• 埋め込みと全射写像を射として用い、有限構造の圏におけるラムゼー性を対象と射の観点から形式化する。
• 随伴理論を適用し、右随伴が射に関してラムゼー性を保存すること、左随伴が射に関して双対ラムゼー性を保存することを示す。
• 圏同値を用いて、同値な圏間でラムゼー性を移動させ、双対性を用いて双対性へ移動する。
• ブール代数と原始代数の間のよく知られた同値関係に理論を適用し、この文脈で新たなラムゼー結果を導出する。
• 圏の積を構成し、各因子がラムゼー性を持つならば、積に対してもラムゼー性が成り立つことを、一般化された積ラムゼー定理を用いて証明する。
• 関数記号を含む言語へのフライッセ理論およびKPT対応の拡張を、関数記号を関係記号に符号化することで行い、コンパクト性および位相的力学的枠組みを保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラムゼー性は、対象だけでなく、射の選択を含む有限構造の圏そのものに依存するのだろうか？
• RQ2 随伴は、有限構造の圏におけるラムゼー性および双対ラムゼー性の保存にどのように影響するのか？
• RQ3 ラムゼー性は圏同値に関して不変であり、同値な圏間でラムゼー結果を移動させることに使えるのだろうか？
• RQ4 2つのラムゼー性を持つ圏の積が、組み合わせ的なラムゼー性を持つのか、そしてこれは有限積バージョンのラムゼー定理に何を意味するのか？
• RQ5 関数記号を含む一階言語へのケヒリス＝ペスタフ＝トドルチェビッチ対応およびフライッセ理論は、どのように適合させられるのか？

主な発見

• ラムゼー性は圏同値に関して不変であり、これはそれが対象そのものに依存する性質ではなく、真の圏的不変量であることを証明する。
• 右随伴は射に関してラムゼー性を保存し、左随伴は射に関して双対ラムゼー性を保存するが、対象に関しては必ずしもそうではない。
• 有限構造の圏がラムゼー性を持つならば、それと圏的に同値な任意の圏に対しても同様にラムゼー性が成り立つ。
• 全射写像を射とする有限集合の圏は双対ラムゼー性を持つ。その有限積は同様にこの性質を有し、双対ラムゼー定理の有限積版が得られる。
• 任意の圏Cが（双対）ラムゼー性を持つならば、その積圏C^nに対しても（双対）ラムゼー性が成り立つ。これはメタ定理を示しており、すべての有限（双対）ラムゼー定理が有限積一般化を有することを示している。
• 関数記号を含む言語へのケヒリス＝ペスタフ＝トドルチェビッチ対応は、関数記号を関係記号に符号化することで拡張可能であり、位相的力学的枠組みが保存される。