[論文レビュー] Categorical formal punctured neighborhood of infinity, I

Alexander I. Efimov|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の滑らかなDGカテゴリ $\mathcal{B}$ に対して、形式的無限大近傍のDGカテゴリカルな類似物を定義し、カテゴリ $Πerf_{\text{top}}(\widehat{\mathcal{B}}_{\infty})$ を構成する。$\mathcal{B} = \operatorname{Perf}(X)$ のとき、代数幾何学的カテゴリ $\operatorname{Perf}(\widehat{X}_{\infty})$ を回復する。この構成はカルキン代数を一般化し、コンパacts化の選択に依存せず、無限大近傍を研究するための準不変カテゴリカル枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this paper we introduce and study the formal punctured neighborhood of infinity, both in the algebro-geometric and in the DG categorical frameworks. For a smooth algebraic variety $X$ over a field of characteristic zero, one can take its smooth compactification $\bar{X}\supset X,$ and then take the DG category of perfect complexes on the formal punctured neighborhood of the infinity locus $\bar{X}-X.$ The result turns out to be independent of $\bar{X}$ (up to a quasi-equivalence) and we denote this DG category by $\operatorname{Perf}(\hat{X}_{\infty}).$ We show that this construction can be done purely DG categorically (hence of course also $A_{\infty}$-categorically). For any smooth DG category $\mathcal{B},$ we construct the DG category $\operatorname{Perf}_{top}(\hat{\mathcal{B}}_{\infty}),$ which we call the category of perfect complexes on the formal punctured neighborhood of infinity of $\mathcal{B}.$ The construction is closely related to the algebraic version of a Calkin algebra: endomorphisms of an infinite-dimensional vector space modulo endomorphisms of finite rank. We prove that the DG categorical construction is compatible with the algebro-geometric one. We study numerous examples. In particular, for the algebra of rational functions on a smooth complete connected curve $C$ we obtain the algebra of adeles $\mathbb{A}_C,$ and for $\mathcal{B}=D^b_{coh}(Y)$ for a proper singular scheme $Y$ we obtain the category $D_{sg}(Y)^{op}$ -- the opposite category of the Orlov's category of singularities. Among other things, we discuss the relation with the papers of Tate \cite{Ta} and Arbarello, de Concini, and Kac \cite{ACK}.

研究の動機と目的

• コンパクト化に依存しない、完全にDGカテゴリカルな形式的無限大近傍の定式化を定義すること。
• 特に無限次元の自己準同型空間を有限ランク作用素で割った場合に、カルキン代数の構成をDGカテゴリに一般化すること。
• $\mathcal{B} = \operatorname{Perf}(X)$ のとき、構成が $\operatorname{Perf}(\widehat{X}_{\infty})$、すなわち無限大近傍上の完全複体のカテゴリを回復することを示すこと。
• 滑らかな多様体に対して、コンパクト化の選択に依存しない不変性を確立し、構成が滑らかな多様体に対して適切に定義されることを示すこと。
• フェイクヤカテゴリ、ターテの研究、およびオルロフのカテゴリ $D_{\text{sg}}(Y)^{\text{op}}$ を用いた特異点理論との関係を調査すること。

提案手法

• 適切なイデアルによる商を用いて、$\operatorname{Perf}(\mathcal{B})$ の商としてDGカテゴリ $\operatorname{Perf}_{\text{top}}(\widehat{\mathcal{B}}_{\infty})$ を定義し、カルキン代数の構成を一般化する。
• $\widehat{\mathcal{B}}_{\infty}$ を非負のコホモロジーを持つDG代数として構成し、$H^0(\widehat{\mathcal{B}}_{\infty}) \cong \operatorname{End}_k(B)/B^* \otimes B$ となるようにする。ここで $B$ は結合的代数であり、有限ランク自己準同型で割る。
• $\operatorname{Calk}_k := \operatorname{Mod}_k / \operatorname{Perf}(k)$ を基礎的モデルとして用い、代数的カルキン代数を一般化する。
• コンパクト近似と擬似完全モジュールを用いて、導来カテゴリが適切に振る舞うようにするため、ホモロジー代数的手法を適用する。
• 生成子 $\mathcal{E}$ が $\operatorname{Perf}(X)$ を生成するとき、$D(X) \simeq D(A_X)$ である等価性（$A_X = \operatorname{End}(\mathcal{E})$）を用い、幾何的およびカテゴリカルな構成を関連付ける。
• $\mathcal{B}$ が滑らかでない小カテゴリであっても、有界性およびコンパクト近似の性質により、$\widehat{\mathcal{B}}_{\infty}$ が任意の小DGカテゴリに対して適切に定義されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数幾何学における形式的無限大近傍は、コンパクト化に依存しない完全なDGカテゴリカルな形で再構成可能か？
• RQ2 DGカテゴリカルな構成は、特に無限次元自己準同型空間を有限ランク作用素で割った場合に、カルキン代数とどのように関係するか？
• RQ3 $\mathcal{B} = \operatorname{Perf}(X)$ のとき、得られるカテゴリ $\operatorname{Perf}_{\text{top}}(\widehat{\mathcal{B}}_{\infty})$ は、滑らかなコンパクト化の選択に依存しないか？
• RQ4 滑らかな射影的曲線 $C$ に対して、アデール環 $\mathbb{A}_C$ のカテゴリカルな解釈は、$\widehat{\mathcal{B}}_{\infty}$ を用いてどのように記述できるか？
• RQ5 構成は、特異なスキーム $Y$ に対してオルロフの特異性カテゴリ $D_{\text{sg}}(Y)^{\text{op}}$ を回復するか？

主な発見

• 任意の特徴がゼロの体上の滑らかな代数的多様体 $X$ に対して、構成により $\operatorname{Perf}(\widehat{X}_{\infty})$ が得られ、これは滑らかなコンパクト化 $\overline{X} \supset X$ の選択に依存せず、準同値の意味で不変である。
• $\mathcal{B} = \operatorname{Perf}(X)$ のとき、DGカテゴリカルな構成は正確に $\operatorname{Perf}(\widehat{X}_{\infty})$ を回復し、代数幾何学的構成のカテゴリカルな類似物を確立する。
• 多項式代数 $B = \mathrm{k}[t]$ の場合、$H^0(\widehat{B}_{\infty})$ は $\mathrm{k}((t^{-1}))$、すなわち $t^{-1}$ のローラン級数体に同型であり、既知の例と整合することを確認する。
• 滑らかな完全な曲線 $C$ 上の有理関数の代数に対して、構成はアデール環 $\mathbb{A}_C$ を得る。これは、グローバル体への関連性を示している。
• $\mathcal{B} = D^b_{\text{coh}}(Y)$ で $Y$ が特異な固有スキームのとき、構成はオルロフの特異性カテゴリの反対カテゴリ $D_{\text{sg}}(Y)^{\text{op}}$ を生成し、特異点理論と関連づける。
• 構成はカルキン代数を一般化する：$H^0(\widehat{B}_{\infty}) \cong \operatorname{End}_k(B)/B^* \otimes B$ であり、$B^* \otimes B$ は有限ランク自己準同型に対応する。写像 $b \mapsto \overline{L_b}$ は、$B$ を商に自然に埋め込む。