[論文レビュー] Categorical properties on the hyperspace of nontrivial convergent sequences

S. Garcı́a-Ferreira, R. Rojas-Hernández+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Fréchet-Urysohn空間 $X$ に含まれるすべての非自明な収束列からなる超空間 $\mathcal{S}_c(X)$ が、Vietoris位相に関して持つカテゴリカル性質——特にBaire性およびmeager性——を調査する。$X$ がcrowded（稠密）であるとき、$\mathcal{S}_c(X)$ はmeagerであることを証明する。また、$\mathcal{S}_c(X)$ がBaireであるのは、$X$ に稠密な孤立点の集合を持つ場合に限る。主要な結果として、順序位相に関して $\mathcal{S}_c(\omega_1)$ がBaireであることが示され、以前の研究における疑問に答えている。

ABSTRACT

In this paper, we shall study categorial properties of the hyperspace of all nontrivial convergent sequences $\mathcal{S}_c(X)$ of a Freéch-Urysohn space $X$, this hyperspace is equipped with the Vietoris topology. We mainly prove that $\mathcal{S}_c(X)$ is meager whenever $X$ is a crowded space, as a corollary we obtain that if $\mathcal{S}_c(X)$ is Baire, the $X$ has a dense subset of isolated points. As an interesting example $\mathcal{S}_c(ω_1)$ has the Baire property, where $ω_1$ carries the order topology (this answers a question from \cite{sal-yas}). We can give more examples like this one by proving that the Alexandroff duplicated $\mathcal{A}(Z)$ of a space $Z$ satisfies that $\mathcal{S}_c(\mathcal{A}(Z))$ has the Baire property, whenever $Z$ is a $Σ$-product of completely metrizable spaces and $Z$ is crowded. Also we show that if $\mathcal{S}_c(X)$ is pseudocompact, then $X$ has a relatively countably compact dense subset of isolated points, every finite power of $X$ is pseudocompact, and every $G_δ$-point in $X$ must be isolated. We also establish several topological properties of the hyperspace of nontrivial convergent sequences of countable Freéch-Urysohn spaces with only one non-isolated point.

研究の動機と目的

• Fréchet-Urysohn空間 $X$ における非自明な収束列の超空間 $\mathcal{S}_c(X)$ のカテゴリー論的性質（例：Baire性、meager性）を調査すること。
• $X$ と $\mathcal{S}_c(X)$ の間の位相的関係、特にBaire性およびmeagernessに関しての関係を特定すること。
• $\mathcal{S}_c(X)$ がBaireまたは擬コンパクトであるための条件を特徴づけ、$X$ 内の孤立点および $G_\delta$-点の果たす役割を調査すること。
• Alexandroffの重複空間 $\mathcal{A}(Z)$ に結果を拡張し、$Z$ が完全距離化可能な空間の $\Sigma$-積であるとき、$\mathcal{S}_c(\mathcal{A}(Z))$ がBaireであることを示すこと。

提案手法

• 超空間 $\mathcal{S}_c(X)$ はVietoris位相を備え、$X$ 内の互いに交わらない有限個の開集合の族を用いて、基本開集合の基底を定義する。
• $\mathcal{S}_c(\omega_1)$ のBaire性の証明は、可算個の稠密な開集合の共通部分集合を構成し、超空間内の基本開集合を再帰的に選択する手法に依拠する。
• $\mathcal{S}_c(\mathcal{A}(Z))$ の場合、集合 $B_n$ および基底空間 $Z$ 内の有限族 $\mathcal{U}_n$ の列を構成し、包含関係、閉包の入れ子構造、およびサポート条件を満たすようにして、$\mathcal{A}(Z)$ 内の極限点を定義する。
• 構成には $Z$ の $\Sigma$-積構造と、サポートおよび射影に関する性質を用い、$\mathcal{A}(Z)$ 内の列の収束を保証する。
• Lemma 3.11 を用いて、包含関係、閉包条件、サポート条件を満たす基本開集合を再帰的に特定し、極限列が非自明かつ収束することを保証する。
• 超空間 $\mathcal{S}_c(X)$ の擬コンパクト性の分析では、$X$ が孤立点の相対的可算コンパクトな稠密部分集合を持つこと、および $X$ のすべての有限乗積が擬コンパクトであることの証明を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で $\mathcal{S}_c(X)$ はBaire空間であるか？
• RQ2 特に $X$ がcrowded（稠密）である場合に、$\mathcal{S}_c(X)$ がmeagerであるのはいつか？
• RQ3 $\mathcal{S}_c(X)$ が擬コンパクトであるならば、$X$ が満たすべき位相的性質は何か？
• RQ4 $Z$ が完全距離化可能な空間の $\Sigma$-積であるとき、$\mathcal{S}_c(\mathcal{A}(Z))$ がBaireであることは可能か？
• RQ5 ある空間 $X$ に対して、$\mathcal{S}_c(X)$ が弱い擬コンパクト性を持つことがあるか？

主な発見

• $X$ がcrowdedな空間であるとき、$\mathcal{S}_c(X)$ はVietoris位相に関してmeagerである。
• $\mathcal{S}_c(X)$ がBaireであるのは、$X$ に孤立点の稠密な部分集合が存在する場合に限る。
• 順序位相に関して $\mathcal{S}_c(\omega_1)$ はBaireである。これは[5]における疑問に答えている。
• $\mathcal{S}_c(\mathcal{A}(Z))$ がBaireであるための十分条件として、$Z$ が完全距離化可能な空間の $\Sigma$-積であり、$Z$ がcrowdedであることである。
• $\mathcal{S}_c(X)$ が擬コンパクトであるならば、$X$ は孤立点の相対的可算コンパクトな稠密部分集合を持つ。
• 擬コンパクトな $\mathcal{S}_c(X)$ において、$X$ 内のすべての $G_\delta$-点は孤立点でなければならない。