[論文レビュー] Categorical representations of categorical groups

John W. Barrett, Marco Mackaay|ArXiv.org|Jul 27, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 50

ひとこと要約

この論文は、カテゴリカル群のカテゴリカル表現のモノイダル2カテゴリを確立し、群表現理論を高階カテゴリへと拡張する。表現が分解不能ではあるが完全に不可約ではない—古典的表現理論よりも豊かな構造を示すが、1次元の場合にはトポロジカル状態和不変量が3次元および4次元多様体に適した半単純カテゴリが得られる。

ABSTRACT

The representation theory for categorical groups is constructed. Each categorical group determines a monoidal bicategory of representations. Typically, these categories contain representations which are indecomposable but not irreducible. A simple example is computed in explicit detail.

研究の動機と目的

• カテゴリカル群の表現理論を、古典的群表現理論に類似した形で発展させること。
• 群の表現のモノイダル圏を一般化した、カテゴリカル表現のモノイダル2カテゴリを構成すること。
• 分解不能でないが不可約でもないカテゴリカル表現の構造を調査すること、特に分解不能だが可約であるという現象に注目すること。
• 一般のカテゴリカル表現の複雑さを説明するために、簡単な例での明示的計算を提供すること。
• これらのカテゴリカル表現を用いて4次元多様体におけるトポロジカル状態和不変量を構成する可能性を検討すること。

提案手法

• 群の群oidsの圏における群的対象としてカテゴリカル群を定義し、これは群のクロスド・モジュールと同値である。
• 厳密モノイダル関手を射として用いることで、カテゴリカル表現のモノイダル2カテゴリを構成する。
• 簡単な例（G(2,3)）における明示的行列計算を通じてカテゴリカル表現を解体し、非可約な分解不能表現を示す。
• 基本群から対称群への準同型および群2コホモロジーを用いて1次元カテゴリカル表現を特徴付ける。
• 特性空間の軌道分解を用いて、分解不能表現およびそのインターリンカーや均一ベクトル束としての記述を行う。
• 軌道の積の分解を通じて表現のモノイダル積を解析し、可約な分解不能表現が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群の表現理論を、高階カテゴリカル枠組みの中でカテゴリカル群へどのように一般化できるか？
• RQ2 カテゴリカル群のカテゴリカル表現がなすモノイダル2カテゴリの構造は何か？
• RQ3 なぜ分解不能だが不可約でないカテゴリカル表現が存在するのか？ そしてそれらはどのように分類できるか？
• RQ4 1次元カテゴリカル表現は、トポロジカル状態和モデルに適した半単純モノイダル2カテゴリをもたらすか？
• RQ5 群2コホモロジーおよび射影的作用は、カテゴリカル表現間の1-インターリンカーを分類する上で果たす役割は何か？

主な発見

• カテゴリカル群のカテゴリカル表現は、古典的群表現のモノイダル圏を拡張したモノイダル2カテゴリをなす。
• 分解不能だが不可約でないカテゴリカル表現が存在し、それらは基本群および安定化部分群の作用の下での特性の軌道によって分類される。
• 1次元の場合、カテゴリカル表現は半単純であり、トポロジカル状態和不変量を構成するのに適した半単純モノイダル2カテゴリをもたらす。
• 分解不能表現間の1-インターリンカーは、特性軌道の積上の射影的均一ベクトル束に対応し、群2コホモロジーでねじれた作用をもつ。
• 2つの分解不能表現のモノイダル積には、可約な分解不能表現が含まれる可能性があり、一般には非半単純構造が現れることを示唆している。
• 一般のカテゴリカル表現には、(C*)^N に値をとる正規化された群2コホモロジーが必要となるが、追加の整合性条件のため、完全な分類は複雑のまま残っている。