[論文レビュー] Categorical structures enriched in a quantaloid: regular presheaves, regular semicategories

Isar Stubbe|ArXiv.org|Sep 24, 2004

Advanced Algebra and Logic参考文献 5被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、quantaloid-豊かみカテゴリの文脈において、regular presheaves と regular semicategories を導入し、semicategories における Morita 同値の一般化を行う。regular semicategory 上の regular presheaves は、全 presheaf category の本質的 (co)localization をなしており、regular semidistributors を用いた Morita 同値の証明により、すべての regular semicategories がカテゴリに同値であるとは限らないことが示されている。

ABSTRACT

We study presheaves on semicategories enriched in a quantaloid: this gives rise to the notion of regular presheaf. A semicategory is regular when its representable presheaves are regular, and its regular presheaves then constitute an essential (co)localization of the category of all of its presheaves. The notion of regular semidistributor allows to establish the Morita equivalence of regular semicategories. Continuous orders and Omega-sets provide examples.

研究の動機と目的

• 対称モノイド圏から quantaloid-豊かみ semicategories への regular モジュールおよび presheaf の理論の一般化。
• representable presheaves が colimits of representables であるような semicategories 上での regular presheaves の定義と研究。
• regular semidistributors を用いた regular semicategories における Morita 型同値の確立。
• すべての regular semicategories がカテゴリに Morita 同値であるとは限らないことから、カテゴリとは本質的に異なることの示唆。
• 連続順序と Ω-sets にインspired された、quantaloids 上の層のための圏論的枠組みの提供。

提案手法

• objects が quantaloid Q に豊かみされたものとして、categories の一般化として quantaloid-豊かみ semicategories を用いる。
• representable presheaves の colimit として標準的に表現可能なものを regular presheaves と定義する。
• Yoneda semifunctor を導入し、homming が representable と組み合わせて値を回復するような presheaves を Yoneda presheaves と特定する。
• presheaf category P𝒜 を、regular presheaves の full subcategory R𝒜 への (co)localization を構成する。
• regular semidistributors を、regular semicategories 間の射として定義し、それらが Morita 同値を誘導することを示す。
• quantaloid の Cauchy completion を用いて、2-圏における 𝒬 の Cauchy completion が Idm(Matr(𝒬)) に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 regular presheaves の理論を対称モノイド圏から quantaloid-豊かみ semicategories へどのように拡張できるか？
• RQ2 semicategory 上のすべての representable presheaves が regular であるための条件は何か？また、そのような semicategory が持つ構造は何か？
• RQ3 regular semidistributors を用いて、Morita 同値を semicategories へどのように一般化できるか？
• RQ4 semicategories に対して Yoneda lemma が成り立たない中で、Yoneda semifunctor の役割は何か？
• RQ5 すべての regular semicategories がカテゴリに Morita 同値であるか、それともより大きなクラスを形成するか？

主な発見

• regular semicategory 上の regular presheaves は、全 presheaf category P𝒜 の本質的 (co)localization をなす full subcategory R𝒜 をなす。
• (co)localization の右随伴の像は、Yoneda presheaves の圏 Y𝒜 に等しい。
• 2 つの regular 𝒬-semicategories 𝒜 と ℬ 間で Morita 同値が成り立つのは、それらが regular semidistributors の quantaloid 内で同型であるとき、かつそのときに限る。
• すべての regular 𝒬-semicategory が 𝒬-category に Morita 同値であるとは限らないため、カテゴリとは本質的に異なる。
• small quantaloid 𝒬 の 2-圏における Cauchy completion は、Idm(Matr(𝒬)) に等しく、これはすべての絶対的 (co)limit を持つ。
• Ω-sets に対しては、regular presheaves はちょうど Ω-部分集合に対応し、この理論が locale 上の層理論と結びつく。