[論文レビュー] Categorical structures enriched in a quantaloid: tensored and cotensored categories

Isar Stubbe|ArXiv.org|Nov 16, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 91

ひとこと要約

この論文は、quantaloid 𝒬 に豊饒化された cocomplete 圏が、ちょうど tensoring および cotensoring と order-cocomplete であるものであることを確立し、圏論的構造と順序論的構造を統合する。右 𝒬-加群が cocomplete 𝒬-圏にちょうど一致することを示し、安定な余極限と整合性のある整合性条件を持つ quantaloid-豊饒化枠組みを用いて、古典的な豊饒化圏論の結果を一般化する。

ABSTRACT

Our subject is that of categories, functors and distributors enriched in a base quantaloid Q. We show how cocomplete Q-categories are precisely those which are tensored and conically cocomplete, or alternatively, those which are tensored, cotensored and order-cocomplete. Bearing this in mind, we analyze how Sup-valued homomorphisms on Q are related to Q-categories. With an appendix on action, representation and variation.

研究の動機と目的

• quantaloid-豊饒化圏の文脈における cocomplete 圏を特徴づけること。
• 豊饒化された設定における tensoring, cotensoring と順序論的 sup との関係を明確にすること。
• tensored 𝒬-圏と 𝒬^op から Cat(2) への閉じた pseudofunctor の間の biequivalence を確立すること。
• 右 𝒬-加群が cocomplete 𝒬-圏に同値であることを示し、古典的な加群理論的対応を一般化すること。
• quantaloid の文脈において、作用、表現、sup-保存関手理論を統合すること。

提案手法

• weighted colimit を 𝒬-圏における基礎的構成とし、tensoring および cotensoring を特別な場合として扱う。
• すべての weighted colimit の存在によって cocompleteness を定義し、tensored かつ conically cocomplete であることと同値であることを示す。
• order-cocompleteness を弱い条件として導入し、cotensored であるとき、conically cocomplete であることと同値であることを示す。
• 豊饒化された随伴の理論を用いて、(co)tensored であることと tensored 圏における order-随伴との関係を関係づける。
• tensored 𝒬-圏と 𝒬^op から Cat(2) への閉じた pseudofunctor の間の biequivalence を、豊饒化された随伴性を用いて確立する。
• 右 𝒬-加群を 𝒬^op から Sup への sup-保存ホモモーチズムとして特徴づけ、cocomplete 𝒬-圏と同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 いつ 𝒬-圏が cocomplete であり、それは tensoring および cotensoring とどのように関係するか？
• RQ2 order-theoretic sup（order-cocompleteness）は、𝒬-圏における豊饒化された圏論的 colimit とどのように作用するか？
• RQ3 右 𝒬-加群と cocomplete 𝒬-圏との正確な対応関係は何か？
• RQ4 quantaloid の文脈において、(co)tensored であることの豊饒化された随伴性による特徴づけは何か？
• RQ5 作用、表現、および Sup-保存関手は、quantaloid-豊饒化圏の文脈においてどのように統合されるか？

主な発見

• 𝒬-圏が cocomplete であることは、ちょうど tensored かつ cotensored かつ order-cocomplete であることと同値である。
• tensored 𝒬-圏において、cotensored であることと特定の order-随伴の存在が同値である。
• 右 𝒬-加群は、cocomplete 𝒬-圏とちょうど同じものであり、根本的な biequivalence を確立する。
• quantaloid 上での作用、表現、および Sup-保存関手理論は、圏論的に同値である。
• 𝒬-圏における cocompleteness は、tensoring, cotensoring, および順序論的 sup の相互作用によって完全に記述される。
• 2-セルの可換性により、quantaloid-豊饒化圏における整合性条件が簡略化され、より明確な構造的結果が得られる。