[論文レビュー] Categorically Morita Equivalent Compact Quantum Groups

Sergey Neshveyev, Makoto Yamashita|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、タンカーナ–クライン双対性を用いて、コンパクトな量子群の間のカテゴリカルなモラータ同値性を動的特徴づける。ユニタリなC*-代数に二つのコンパクトな量子群の可換作用を与えると、その作用が自由で、固定点代数が有限次元的であり、かつそれらの代数がフォーベニウス代数として双対的であるときかつそのときに限り、それらの表現カテゴリ上の可逆な双モジュラーカテゴリが生じる—これは、バイホープ–ガロア条件の一般化である。

ABSTRACT

We give a dynamical characterization of categorical Morita equivalence between compact quantum groups. More precisely, by a Tannaka--Krein type duality, a unital C$^*$-algebra endowed with commuting actions of two compact quantum groups corresponds to a bimodule category over their representation categories. We show that this bimodule category is invertible if and only if the actions are free, with finite dimensional fixed point algebras, which are in duality as Frobenius algebras in an appropriate sense. This extends the well-known characterization of monoidal equivalence in terms of bi-Hopf--Galois objects.

研究の動機と目的

• コンパクトな量子群の表現カテゴリ間のモラータ同値性をカテゴリカルに特徴づけること。
• 既知のモノイダル同値性に関するバイホープ–ガロア特徴づけを、より広いカテゴリカルなモラータ同値の文脈へと拡張すること。
• 量子群の解析的性質とそのカテゴリカルな表現理論的構造との間の関係を確立すること。
• G-Hopf–ガロア対象の概念を、カテゴリカルにモラータ同値な量子群を一気に構成する方法へ一般化すること。
• フォーベニウス代数と双対性が、量子群作用から生じるC*-テンソルカテゴリの文脈で果たす役割を明確にすること。

提案手法

• タンカーナ–クライン双対性を用いて、二つのコンパクトな量子群の可換作用を持つC*-代数を、それらの表現カテゴリ上の双モジュラーカテゴリに結びつける。
• 双モジュラー構造を符号化する主要対象として、G1-およびG2-不変な有限生成右ヒルベルトA加群のカテゴリを定義する。
• G1-G2-モラータ–ガロア条件を導入する：作用は自由で、固定点代数は有限次元的であり、加えてAG1 ⊗AとAG2 ⊗Aが作用と整合的な方法で同型である。
• C*-テンソルカテゴリにおけるフォーベニウス代数構造を用いて、固定点代数AG1とAG2を双対性によって関連付ける。
• ユニタリ構造と内部Hom対象を用いて、得られるQシステムが既約的であり、ユニタリティ条件を満たすことを検証する。
• ドリンフェルト中心の同値性と2-カテゴリカルな双対性を活用し、双モジュラーカテゴリの可逆性がG1-G2-モラータ–ガロア条件と同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つのコンパクトな量子群の作用に関して、G1-およびG2-不変な有限生成右ヒルベルトA加群の双モジュラーカテゴリDAは、(Rep G2)-(Rep G1)-双モジュラーカテゴリとしていつ可逆になるか？
• RQ2 コンパクトな量子群の可換作用に課される、その表現カテゴリのカテゴリカルなモラータ同値性を保証する正確な代数的条件は何か？
• RQ3 作用がエルゴディック（つまりAG1 = C かつ AG2 = C）である場合、G1-G2-モラータ–ガロア条件は古典的なバイホープ–ガロア条件にどのように一般化されるか？
• RQ4 カテゴリカルにモラータ同値なコンパクトな量子群は、固定点代数の構造とその双対性のみを用いて完全に特徴づけられるか？
• RQ5 フォーベニウス代数とそのモジュールカテゴリは、表現カテゴリ上の可逆な双モジュラーカテゴリを実現する際に果たす役割は何か？

主な発見

• G1およびG2の作用が自由で、固定点代数が有限次元的であるときかつそのときに限り、G1-およびG2-不変な有限生成右ヒルベルトA加群の双モジュラーカテゴリDAは、(Rep G2)-(Rep G1)-双モジュラーカテゴリとして可逆である。
• 固定点代数AG1とAG2は、AG1 ⊗AとAG2 ⊗Aがそれぞれの作用と整合的な方法で同型であるという意味で、フォーベニウス代数として双対的である。
• G1-G2-モラータ–ガロア条件はバイホープ–ガロア条件を一般化する：作用がエルゴディックである（すなわちAG1 = C かつ AG2 = C）場合、この条件は古典的なバイホープ–ガロア対象構造に還元される。
• 表現カテゴリ内の単純対象Xに対応する対象¯XXは、既約なQシステムであり、関連するモジュール構造はユニタリ的である。
• 射影µY µ∗Yはd(¯XX)ιYに等しく、これはQシステム¯XXが標準的なQシステム公理（ユニタリティ条件を含む）を満たしていることを確認する。
• AG1とAG2の双対性は、AG1 ⊗AとAG2 ⊗Aのユニタリ同型を通じて実現され、その同型構造はそれぞれの固定点代数の作用に関して保存される。