[論文レビュー] Categoricity over P for first order T or categoricity for phi in L_{omega_1 omega} can stop at aleph_k while holding for aleph_0, ..., aleph_{k-1}

Bradd Hart, Saharon Shelah|ArXiv.org|Jan 15, 1990

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、各 k > 0 に対して、第一階理論 T_k と L_{ω₁,ω} 文の φ_k を構成し、両者ともすべての無限基数 ℵ_n（n < k）で分類的であるが、ℵ_k では分類的でないことを示している。この構成により、述語 P に関する相対的分類的性質が ℵ_k で「停止」しうることを示しており、無限記号論理と第一階理論に区別された述語を含む場合の分類的性質の継続性に関する疑問を解決する。

ABSTRACT

Suppose L is a relational language and P in L is a unary predicate. If M is an L-structure then P(M) is the L-structure formed as the substructure of M with domain {a: M models P(a)}. Now suppose T is a complete first order theory in L with infinite models. Following Hodges, we say that T is relatively lambda-categorical if whenever M, N models T, P(M)=P(N), |P(M)|= lambda then there is an isomorphism i:M-&gt; N which is the identity on P(M). T is relatively categorical if it is relatively lambda-categorical for every lambda. The question arises whether the relative lambda-categoricity of T for some lambda &gt;|T| implies that T is relatively categorical. In this paper, we provide an example, for every k&gt;0, of a theory T_k and an L_{omega_1 omega} sentence varphi_k so that T_k is relatively aleph_n-categorical for n &lt; k and varphi_k is aleph_n-categorical for n

研究の動機と目的

• 第一階論理に区別された述語 P を含む場合、1つの非可算基数 λ > |T| で相対的分類的であることが、すべての非可算基数で全相対的分類的であることを示すかを調査すること。
• L_{ω₁,ω} の文 φ がすべての ℵ_n（n < k）で分類的であるが、ℵ_k で分類的でないことは可能か。
• すべての小さい無限基数で分類的であるが、ℵ_k で分類的でない具体例を構成すること。
• 無限記号論理および述語を含む第一階理論における分類的性質が終了する境界条件を明確にすること。

提案手法

• 単項述語 P を用いた第一階論理におけるモデル理論的構成を用い、n < k のすべての ℵ_n で相対的分類的である理論 T_k を定義する。
• 無限記号論理 L_{ω₁,ω} を用い、すべての n < k で ℵ_n-分類的である文 φ_k を定義する。
• 構成は、述語 P を通じたモデルの構造の精密な制御と、無限記号論理的設定における Ehrenfeucht-Fraïssé ゲームの使用に依存する。
• 主な技術は、ℵ_k より小さい段階で分類的であるが、ℵ_k で失敗するように、飽和性と均一性の性質を制御したモデルを構築することにある。
• 理論と文が所定の基数で安定であることを保証するために、再帰的構成法を用いる。
• ℵ_k のサイズのモデルの同型型を分析し、ℵ_k で分類的でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一階理論 T に述語 P を含む場合、1つの非可算基数 λ > |T| で相対的分類的であることが、すべての非可算基数で全相対的分類的であることを示せるか。
• RQ2 任意の k > 0 に対して、L_{ω₁,ω} の文 φ がすべての ℵ_n（n < k）で分類的であるが、ℵ_k で分類的でないことは可能か。
• RQ3 無限記号論理における分類的性質が、ある基数で「停止」し、それより大きな基数では成り立たないような、正確な条件は何か。
• RQ4 このような振る舞いを、各 k > 0 に対して体系的に構成可能か。すなわち、分類的性質の閾値の階層を示せるか。
• RQ5 区別された述語 P の存在が、第一階理論の分類的スペクトルにどのように影響するか。

主な発見

• すべての k > 0 に対して、すべての n < k で相対的 ℵ_n-分類的だが、相対的 ℵ_k-分類的でない第一階理論 T_k が存在する。
• すべての k > 0 に対して、すべての n < k で ℵ_n-分類的だが、ℵ_k-分類的でない L_{ω₁,ω} 文 φ_k が存在する。
• T_k と φ_k の分類的スペクトルはちょうど {ℵ_n | n < k} に一致しており、分類的性質が ℵ_k で正確に停止することを示している。
• 構成により、理論や文の分類的性質が、ℵ_n の有限初期部分列に制限されうることを示している。
• 結果として、モーリー分類的定理の類似が、第一階論理における相対的分類的性質や、L_{ω₁,ω} における有限段階を超えた分類的性質に拡張されないことが示された。
• ℵ_k での分類的性質の失敗は、モデル理論的不安定性によるものではなく、モデル構造における制御された組合せ的障害によるものである。