[論文レビュー] Categories in control: applied PROPs

Jason Erbele|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2016

Formal Methods in Verification参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、信号フローダイアグラムを用いて線形時不変系をモデル化するPROPs（積圏）を用いた制御理論のカテゴリー的枠組みを提示する。FinRelk—R(s)上の有限次元ベクトル空間と線形関係および直和を備えたもの—を、加法、スカラー乗法、微分、フィードバックといった基本的演算によって生成され、代数的関係に従う対称モノイド圏としての提示を行う。主な貢献は、状態空間ダイナミクスを捉え、ストリング図を用いた視覚的推論を可能にする、新しいPROPであるStatefulkを用いた可制御性および可観測性のグラフィカル計算である。

ABSTRACT

Control theory uses `signal-flow diagrams' to describe processes where real-valued functions of time are added, multiplied by scalars, differentiated and integrated, duplicated and deleted. These diagrams can be seen as string diagrams for the PROP FinRel_k, the strict version of the category of finite-dimensional vector spaces over the field of rational functions k = R(s) and linear relations, where the variable s acts as differentiation and the monoidal structure is direct sum rather than the usual tensor product of vector spaces. Control processes are also described by controllability and observability---whether the input can drive the process to any state, and whether any state can be determined from later outputs. For any field k we give a presentation of FinRel_k in terms of generators of the free PROP of signal-flow diagrams together with the equations that give FinRel_k its structure. The `cap' and `cup' generators, missing when the morphisms are linear maps, make it possible to model feedback. The relations say, among other things, that the 1-dimensional vector space k has two special commutative dagger-Frobenius structures, such that the multiplication and unit of either one and the comultiplication and counit of the other fit together to form a bimonoid. This sort of structure, but with tensor product replacing direct sum, is familiar from the `ZX-calculus' obeyed by a finite-dimensional Hilbert space with two mutually unbiased bases. In order to address controllability and observability, we construct the PROP Stateful_k and relate it back to the PROP of signal-flow diagrams. This provides a way to graphically express controllability and observability for linear time-invariant processes.

研究の動機と目的

• 制御系を圏論、特にPROPsを用いて形式化し、線形時不変系のための統一的で代数的かつグラフィカルな言語を提供すること。
• 信号フローダイアグラムの操作によって生成される、R(s)上の有限次元ベクトル空間と線形関係および直和を備えたPROPであるFinRelkを提示すること。
• 状態空間表現をモデル化し、可制御性および可観測性を圏論的枠組みで形式的に捉えるためのPROPであるStatefulkを定義し構築すること。
• グラフィカルな信号フローダイアグラムと古典的制御理論の概念との間の橋渡しを確立し、システムの挙動について視覚的かつ代数的推論を可能にすること。
• 状態遷移行列に線形関係を含むより一般なシステムへの拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• 信号フローダイアグラムの操作をモルフィズムとして表現し、直和によって与えられるモノイド構造を持つPROPsを用いて制御系をモデル化する。
• R(s)上の線形関係の代数的構造を捉えるために、生成子（加法、スカラー乗法、微分、複製、削除）と関係（Frobenius則および双モノイド則を含む）によるFinRelkの提示を行う。
• フィードバックをモデル化するための「キャップ」と「カップ」の生成子を導入し、閉ループ系の表現を可能にする。
• 状態変数を信号フローダイアグラム内に内部化する「ボックス」構成を用いて、PROPであるStatefulkを構築する。
• 状態の到達可能性および状態の区別可能性といったグラフィカル基準を用いて、Statefulk内のモルフィズムとしての可制御性および可観測性を定義する。
• 信号フローダイアグラムの分析および状態空間実現との関連を調べるために、「StFlowk正規形」を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御理論における信号フローダイアグラムは、どのように対称モノイド圏内のモルフィズムとして形式的に捉えられるか？
• RQ2 R(s)上の有限次元線形関係のPROPであるFinRelkの構造を支配する代数的関係は何か？
• RQ3 フィードバック、複製、削除は、PROPsにおける生成子と関係を用いてどのように圏論的にモデル化できるか？
• RQ4 可制御性および可観測性は、PROPsにおけるグラフィカル推論を用いてどのように表現され、検証されるか？
• RQ5 本フレームワークは、線形写像に限らない状態遷移行列に線形関係を含むシステムに対しても拡張可能か？

主な発見

• FinRelkは、基本的制御操作のための生成子と、2つの可換な†-Frobenius構造が双モノイドを形成する関係を備えた提示がなされ、ZXカルキュイランスで見られる構造を一般化している。
• 「キャップ」と「カップ」の生成子の導入により、フィードバックのモデル化が可能となり、閉ループ系がPROPsフレームワーク内で表現可能になる。
• Statefulkの構築により、状態空間系の圏論的モデルが得られ、可制御性および可観測性が信号フローダイアグラムのグラフィカルな性質として表現可能になる。
• 可制御性は、入力から一連の操作によって任意の状態に到達できる能力として特徴づけられ、可観測性は出力から状態を同定できる能力として特徴づけられる。
• 本稿では、状態空間の写像ではなく関係を扱うためのフレームワークの一般化への道筋を示し、新たなPROPであるCtrlFlowkを用いてより広範なクラスのシステムをモデル化可能であると示唆している。
• 信号フローダイアグラムのStFlowk正規形を用いて、線形関係A(f)、B(f)、C(f)、D(f)を体系的に抽出できるという予想を提示しており、直感的技法に代わるより体系的な手法を提供する可能性を示している。