[論文レビュー] Categories of integrable $sl(\infty)$-, $o(\infty)$-, $sp(\infty)$-modules

Ivan Penkov, Vera Serganova|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(\infty), \mathfrak{o}(\infty), \mathfrak{sp}(...)$ に対する可積分 $\mathfrak{g}$-加群のカテゴリ $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ を定義し、研究する。このカテゴリは、代数的双対化および有限Loewy長さに関して閉じた最大のカテゴリとして定義される。このカテゴリが半単純であり、その単純対象がちょうど単純テンソル加群であることを証明する。カテゴリ $\mathrm{Tens}_{\mathfrak{g}}$ は、非自明な加群を含み、テンソル積および双対性に関して閉じた、唯一の最小のアーベルな完全部分カテゴリとして特徴づけられる。

ABSTRACT

We investigate several categories of integrable $sl(\infty)$-, $o(\infty)$-, $sp(\infty)$-modules. In particular, we prove that the category of integrable $sl(\infty)$-, $o(\infty)$-, $sp(\infty)$-modules with finite-dimensional weight spaces is semisimple. The most interesting category we study is the category $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ of tensor modules. Its objects $M$ are defined as integrable modules of finite Loewy length such that the algebraic dual $M^*$ is also integrable and of finite Loewy length. We prove that the simple objects of $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ are precisely the simple tensor modules, i.e. the simple subquotients of the tensor algebra of the direct sum of the natural and conatural representations. We also study injectives in $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ and compute the Ext$^1$'s between simple modules. Finally, we characterize a certain subcategory $\mathrm{Tens}_{\mathfrak{g}}$ of $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ as the unique minimal abelian full subcategory of the category of integrable modules which contains a non-trivial module and is closed under tensor product and algebraic dualization.

研究の動機と目的

• 無限次元リー代数 $\mathfrak{sl}(\infty)$, $\mathfrak{o}(\infty)$, $\mathfrak{sp}(\infty)$ に対して、代数的双対化および有限Loewy長さに関して閉じた自然な加群カテゴリを定義・分析すること。
• 可積分高さ付き加群で、有限次元の重み空間を持つカテゴリが半単純であることを証明し、ヘルマン・ヴァイエルの半単純性定理をこれらの無限次元リー代数に一般化すること。
• $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ としてのテンソル加群カテゴリを、最大のこのようなカテゴリとして特徴づけ、その単純対象が自然および余自然表現のテンソル代数の単純部分商として正確に特定されることを示すこと。
• $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ 内の単純加群間の $\mathrm{Ext}^1$ 群を計算し、インジェクティブ対象の構造を研究することで、カテゴリの構造的洞察を提供すること。
• $\mathrm{Tens}_{\mathfrak{g}}$ が、非自明な加群を含み、テンソル積および代数的双対化に関して閉じた、唯一の最小のアーベルな完全部分カテゴリであることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、有限Loewy長さかつ代数的双対化に関して閉じた、可積分 $\mathfrak{g}$-加群のフル部分カテゴリとして $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ を定義する。
• 彼らはLoewy長さおよびソクル系列の概念を用いて、加群の構造と特にインジェクティブ包の双対の構造を分析する。
• 半単純性の証明は、重み空間の構造と、カテゴリ内のすべての単純加群が自然および余自然表現の有限テンソル積の部分商であるという事実に依拠する。
• 双対関手 $M \mapsto M^*$ を用い、この関手が $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ 内で有限Loewy長さを保存することを示し、このカテゴリ上で反変イ somorphism をなすことの証明を行う。
• $\mathrm{Tens}_{\mathfrak{g}}$ の特徴づけは、任意の $\otimes$ および $*$ に関して閉じた最小のアーベルな完全部分カテゴリが、随伴表現を含むこと、したがって自然および余自然表現を含むことの証明によって達成される。
• 著者らは、局所有限リー代数の表現論の結果を用い、特に $\mathfrak{g}$ が直接極限としての構造を持つこと、および最高重みおよび双対構成による単純加群の分類が有効であることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分 $\mathfrak{g}$-加群で、有限次元の重み空間を持つカテゴリの構造は何か？ そしてそれは半単純か？ ただし $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(\infty), \mathfrak{o}(\infty), \mathfrak{sp}(\infty)$ の場合。
• RQ2 代数的双対化および有限Loewy長さに関して閉じた、可積分 $\mathfrak{g}$-加群の最大カテゴリは何か？ その性質は？
• RQ3 $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ の単純対象は何か？ そして自然および余自然表現からどのように構成できるか？
• RQ4 $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ 内のインジェクティブ対象および単純加群間の $\mathrm{Ext}^1$ 群の構造は？
• RQ5 テンソル積および代数的双対化に関して閉じ、可積分加群のカテゴリ内で最小のアーベルな完全部分カテゴリは何か？ そして自然表現のテンソル代数とどのように関係しているか？

主な発見

• 可積分 $\mathfrak{g}$-加群で、有限次元の重み空間を持つカテゴリは、$\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(\infty), \mathfrak{o}(\infty), \mathfrak{sp}(\infty)$ の場合に半単純である。これは、ヘルマン・ヴァイエルの半単純性定理を無限次元設定に拡張したものである。
• $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ は、有限Loewy長さを持つ可積分加群であり、その代数的双対もまた可積分かつ有限Loewy長さを持つものである。
• $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ の単純対象は、$\mathfrak{g}$ の自然および余自然表現の直和のテンソル代数の単純部分商として正確に特定される。
• $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ 内の単純加群 $V_{\lambda}$ のインジェクティブ包 $I_{\lambda}$ のソクル系列において、$\mathrm{soc}^k(I_{\lambda})$ は、$\mu \in \Theta^k(\lambda)$ に対して、$X^\mu \otimes V_\mu$ の形の単純加群の直和である。ここで $X^\mu$ は次元 $2^{\mathbb{Z}}$ の自明加群である。
• $\mathrm{Tens}_{\mathfrak{g}}$ は、可積分 $\mathfrak{g}$-加群のカテゴリ内で、非自明な加群を含み、テンソル積および代数的双対化に関して閉じた唯一の最小のアーベルな完全部分カテゴリである。
• $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ の任意の加群は、その双対のソクルの双対の部分加群である。このカテゴリはリー代数の準同型に関して関手的である。