[論文レビュー] Categories of quantum liquids II

Liang Kong, Hao Zheng|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2021

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次元以上の時空次元におけるギャップのある量子液体を分類するための高次カテゴリカルな枠組みを構築する。分離可能な高次カテゴリ、中心ファンクター、モジュラー拡張を用いる。ユニタリ対称性に加え、反ユニタリ対称性を扱うために直交高次カテゴリを導入することで、群コホノロジーを超えた体系的なSPT秩序の分類を確立し、時間反転対称性およびフェルミオン的対称性を有する3次元で非自明なSPT相が新たに特定される。

ABSTRACT

We continue to develop the theory of separable higher categories, including center functors, higher centralizers, modular extensions and group theoretical higher fusion categories. Moreover, we outline a theory of orthogonal higher categories to treat anti-unitary symmetries. Using these results we derive a systematic classification of gapped quantum liquids and predict many new SPT orders in spacetime dimension $\ge3$.

研究の動機と目的

• 分離可能な高次カテゴリを用いて、時空次元 ≥3 のギャップのある量子液体の数学的枠組みを構築すること。
• 1+1次元RCFTおよび2+1次元トポロジカル秩序の結果を拡張し、境界-バルク関係および中心ファンクターを高次カテゴリに一般化すること。
• 有限ユニタリおよび反ユニタリ対称性、特にフェルミオン的および時間反転対称性を有するSPT秩序の体系的分類を確立すること。
• 反ユニタリおよび時間反転対称性を扱うために直交高次カテゴリを導入し、標準的な群コホノロジーを超えた分類を可能にすること。
• モジュラー拡張および中心ファンクターを用いて、SPT秩序、対称性破れの自明な相、混合対称性相の分類を統一すること。

提案手法

• 融合1カテゴリから高次融合nカテゴリへの結果を一般化するために、凝縮完了理論を用いる。
• E₀-およびE₁-中心ファンクターを導入し、分離可能なnカテゴリ理論に還元することで、高次カテゴリにおけるファンクター性を証明する。
• Eₘ-中心化子および完全ペアリングを定義し、高次カテゴリにおけるモジュラー拡張を形式化する。
• 高次カテゴリにおいて、モジュラー拡張とE₁中心のbraided同値の間の一対一対応を構築する。
• 反ユニタリおよび時間反転対称性をモデル化するため、直交高次カテゴリを導入し、ユニタリ表現理論を一般化する。
• Aが直交的E₀マルチ融合nカテゴリであり、φがAのE₀中心への直交的モノイダル同値であるようなペア(A, φ)の同値類を用いて、SPT秩序を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次カテゴリ理論を用いて、1+1次元および2+1次元系から高次元量子液体への境界-バルク関係をどのように一般化できるか？
• RQ2 高次融合nカテゴリにおけるモジュラー拡張の数学的構造は何か？ そして、対称性のゲージ化およびSPT分類とどのように関係するか？
• RQ3 反ユニタリおよび時間反転対称性を、直交高次カテゴリを用いて体系的にSPT秩序の分類に統合する方法は何か？
• RQ4 内部対称性を有するSPT秩序、対称性破れの自明な相、混合対称性相の分類が、高次元においてどのように一致するか？
• RQ5 既存の群コホノロジー分類は、時間反転対称性またはフェルミオン的対称性を有する3次元における非自明なSPT相をどれほど正しく捉えていないか？

主な発見

• 分離可能な高次カテゴリに対してE₁中心ファンクターがファンクター的であることが証明され、1+1次元および2+1次元の結果を任意の時空次元に一般化する。
• E₂融合nカテゴリのモジュラー拡張とそのE₁中心のbraided同値の間の一対一対応が確立され、Müger理論が高次カテゴリに拡張される。
• ℤ₄ᵀ対称性を有する3次元SPT秩序の分類が群コホノロジーを超えることが示され、2つの異なるモジュラー拡張が同定され、以前に同定されていなかった非自明な相が含まれる。
• 奇数mに対してℤₘ×ℤ₄ᵀを用いると、H³(ℤₘ×ℤ₄ᵀ, U_T(1)) = ℤ₁であるが、複数のモジュラー拡張が存在するため、3次元SPT秩序の分類は群コホノロジーを超える。
• sRep(ℤ₂ᶠ×ℤ₂ᵀ)の4つのモジュラー拡張が同定され、そのうち2つのフェルミオン的3次元時間反転SPT秩序が存在するが、そのうちの1つは既存の物理学文献に存在しない。
• 時空群対称性Gを有するSPT秩序、Gが破壊された対称性破れの自明な相、および局所G対称性を有するSPT秩序の分類が等価であることが示され、高次元における結晶的等価原理が回復される。