[論文レビュー] Categories vs. groupoids via generalised Mal'tsev properties

Nelson Martins-Ferreira, Tim Van der Linden|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2012

Advanced Algebra and Logic被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、一般化されたMal'tsev性質を持つ圏における内部カテゴリと内部群ガロアの違いを調査し、核対と等価化子を備えた弱いMal'tsev圏では、内部カテゴリと群ガロアが一致するのは、すべての内部前順序が同値関係であるとき、すなわち多様体がn-順序的であるときであることを示している。主な貢献は、二項積に依存しない内部カテゴリカル構造を用いたn-順序的の新しい特徴付けであり、含意代数を用いた弱いMal'tsevだがMal’tsevでない多様体の構成も行われている。

ABSTRACT

We study the difference between internal categories and internal groupoids in terms of generalised Mal'tsev properties---the weak Mal'tsev property on the one hand, and $n$-permutability on the other. In the first part of the article we give conditions on internal categorical structures which detect whether the surrounding category is naturally Mal'tsev, Mal'tsev or weakly Mal'tsev. We show that these do not depend on the existence of binary products. In the second part we focus on varieties of algebras.

研究の動機と目的

• 一般化されたMal'tsev性質の観点から、内部カテゴリと内部群ガロアの違いを理解すること。
• 二項積に依存しない内部カテゴリカル構造を用いて、自然にMal’tsev、Mal’tsev、弱いMal’tsev圏を特徴付けること。
• 特に普遍代数の多様体の文脈において、弱いMal'tsev圏における内部カテゴリがいつ内部群ガロアになるかを調査すること。
• 特にすべての内部前順序が同値関係であるという条件を含めた、内部構造に基づくn-順序的の新しい特徴付けを提供すること。
• 弱いMal'tsevかつGoursatだがMal’tsevでないカテゴリの例を体系的に構成すること。

提案手法

• 二項積に依存しない、核対とスプリットプッシュアウトを基礎構造として用いる。
• 反射的グラフが高々一つの内部カテゴリ構造を持つという弱いMal'tsev圏の概念を適用する。
• 内部カテゴリから乗法的グラフへの忘却関手が、等価化子と核対を備えた弱いMal'tsev圏において同型であることを示す。
• Mal'tsev条件を一般化した、弱いMal'tsev準多様体を定義する新しい準恒等式条件を導入する。
• Hagemannの定理（命題4.3）およびその拡張（命題4.8）を用い、Goursat（3-順序的）な多様体から弱いMal'tsev準多様体を構成する。
• 特定の乗法表を持つ含意代数を用いて、明示的な例を構成し、Mal’tsevでないが弱いMal'tsevおよびGoursat条件を満たす振る舞いを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、内部カテゴリと内部群ガロアが一致するか？
• RQ2 乗法的グラフや前順序といった内部カテゴリカル構造を用いて、弱いMal'tsev性質をどのように特徴付けることができるか？
• RQ3 弱いMal'tsev圏において、n-順序的とすべての内部前順序が同値関係であるという性質の関係は何か？
• RQ4 弱いMal'tsevかつGoursatだがMal’tsevでないカテゴリは存在するか？ そして、このような例を体系的にどのように構成できるか？
• RQ5 n-順序的多様体において、内部カテゴリが内部群ガロアになるために弱いMal'tsev性質が必要か？

主な発見

• 核対と等価化子を備えた弱いMal'tsev圏では、内部カテゴリから乗法的グラフへの忘却関手が同型である。
• 内部群ガロアから内部カテゴリへの忘却関手が同型であるのは、すべての内部前順序が同値関係であるときである。
• 有限的準多様体では、すべての内部前順序が同値関係であるという条件は、あるnについてのn-順序的と同値である。
• 準恒等式 (ba)x = (ab)c = (ba)x′ および (bc)x = (cb)a = (bc)x′ ⇒ x = x′ を満たす含意代数の多様体は、弱いMal'tsev準多様体であり、GoursatではあるがMal’tsevではない。
• 命題4.8の構成により、弱いMal'tsev、GoursatだがMal’tsevでない準多様体を体系的に生成でき、これらの性質が独立であることを示している。
• 本論文は、n-順序的多様体では、内部カテゴリが内部群ガロアになるために弱いMal'tsev性質が不要であることを示しており、n-順序的であることだけですでに十分である。