[論文レビュー] Categorification of Quantum Generalized Kac-Moody Algebras and Crystal Bases

Seok‐Jin Kang, Se‐jin Oh+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2011

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、量子一般化 Kac-Moody代数のための Khovanov-Lauda-Rouquier (KLR) 代数およびそのサイクロトロピック商を構成し、量子一般化 Kac-Moody代数の負部分の整形式から、graded projective 加群の Grothendieck 群への単射代数同型写像を介してカテゴリフィケーションを確立する。さらに、これらの代数における不可約 graded 加群の同型類のクリスタル構造が、古典的クリスタル $ B(\infty) $ および $ B(\lambda) $ と同型であることを証明し、一般化 Kac-Moody設定へのカテゴリフィケーションの拡張を達成する。

ABSTRACT

We construct and investigate the structure of the Khovanov-Lauda-Rouquier algebras $R$ and their cyclotomic quotients $R^\\lambda$ which give a categrification of quantum generalized Kac-Moody algebras. Let $U_\\A(\\g)$ be the integral form of the quantum generalized Kac-Moody algebra associated with a Borcherds-Cartan matrix $A=(a_{ij})_{i,j \\in I}$ and let $K_0(R)$ be the Grothedieck group of finitely generated projective graded $R$-modules. We prove that there exists an injective algebra homomorphism $\\Phi: U_\\A^-(\\g) \ o K_0(R)$ and that $\\Phi$ is an isomorphism if $a_{ii}\ e 0$ for all $i\\in I$. Let $B(\\infty)$ and $B(\\lambda)$ be the crystals of $U_q^-(\\g)$ and $V(\\lambda)$, respectively, where $V(\\lambda)$ is the irreducible highest weight $U_q(\\g)$-module. We denote by $\\mathfrak{B}(\\infty)$ and $\\mathfrak{B}(\\lambda)$ the isomorphism classes of irreducible graded modules over $R$ and $R^\\lambda$, respectively. If $a_{ii}\ e 0$ for all $i\\in I$, we define the $U_q(\\g)$-crystal structures on $\\mathfrak{B}(\\infty)$ and $\\mathfrak{B}(\\lambda)$, and show that there exist crystal isomorphisms $\\mathfrak{B}(\\infty) \\simeq B(\\infty)$ and $\\mathfrak{B}(\\lambda) \\simeq B(\\lambda)$. One of the key ingredients of our approach is the perfect basis theory for generalized Kac-Moody algebras.

研究の動機と目的

• 可換 Kac-Moody代数から一般化 Kac-Moody代数へ KLRカテゴリフィケーション枠組みを拡張すること。
• Borcherds-Cartan行列を用いて、量子一般化 Kac-Moody代数のための KLR代数 $ R $ 及びそのサイクロトロピック商 $ R^{\blambda} $ を構成すること。
• 量子一般化 Kac-Moody代数の負部分 $ U_{\mathbb{A}}^{-}(\mathfrak{g}) $ と $ R $ の有限生成 graded projective $ R $-加群の Grothendieck 群 $ K_0(R) $ 間の同型を確立し、不可約 graded 加群の同型類におけるクリスタル構造を定義すること。
• クリスタル構造 $ \mathfrak{B}(\infty) $ および $ \mathfrak{B}(\blambda) $ がそれぞれ古典的クリスタル $ B(\infty) $ および $ B(\blambda) $ と同型であることを証明すること。

提案手法

• 生成元と関係式を用いて KLR代数 $ R $ を定義し、同型多項式 $ \mathcal{P}_i(u,v) $（次数 $ 1 - \frac{a_{ii}}{2} $）を交換関係および braid 関係のねじれ因子として組み込む。
• 構造的解析および計算を容易にするために、$ R $ の図式的表現を導入する。
• 各ドミナント整数重み $ \blambda $ に対して、サイクロトロピック商 $ R^{\blambda} $ を構成し、不可約最高重み加群 $ V(\blambda) $ をモデル化する。
• 有限生成 graded projective $ R $-加群の Grothendieck 群 $ K_0(R) $ を定義し、$ U_{\mathbb{A}}^{-}(\mathfrak{g}) \to K_0(R) $ の単射代数同型写像 $ \Phi $ を確立する。
• 不可約 $ R^\lambda $-加群の同型類の集合にクリスタル作用素 $ \tilde{e}_i^\lambda $、$ \tilde{f}_i^\lambda $ を定義し、それらがクリスタル公理を満たすことを示す。
• 厳密なクリスタル埋め込み $ \Psi_\lambda: \mathfrak{B}(\lambda) \to \mathfrak{B}(\infty) \otimes T_\lambda \otimes C $ を構成し、その像が $ B(\lambda) $ と同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Khovanov-Lauda-Rouquierカテゴリフィケーション枠組みは、量子一般化 Kac-Moody代数へ拡張可能か？
• RQ2 KLR代数 $ R $ の Grothendieck 群 $ K_0(R) $ は、量子一般化 Kac-Moody代数の負部分 $ U_{\mathbb{A}}^{-}(\mathfrak{g}) $ をカテゴリフィケーションするか？
• RQ3 不可約 graded $ R $-加群および $ R^\lambda $-加群の同型類は、古典的クリスタル $ B(\infty) $ および $ B(\lambda) $ と同型なクリスタル構造をもつか？
• RQ4 $ a_{ii} $ に依存するねじれ因子 $ \mathcal{P}_i(u,v) $ は、一般化 Kac-Moodyの場合の代数的構造およびカテゴリフィケーションにどのように影響するか？

主な発見

• 単射代数同型写像 $ \Phi: U_{\mathbb{A}}^{-}(\mathfrak{g}) \to K_0(R) $ が存在し、すべての $ i \in I $ に対して $ a_{ii} \neq 0 $ ならば同型となる。
• $ R $-加群の不可約 graded 加群の同型類の集合 $ \mathfrak{B}(\infty) $ におけるクリスタル構造は、古典的クリスタル $ B(\infty) $ と同型である。
• $ R^\lambda $-加群の不可約 graded 加群の同型類の集合 $ \mathfrak{B}(\lambda) $ におけるクリスタル構造は、古典的クリスタル $ B(\lambda) $ と同型である。
• 写像 $ \Psi_\lambda: \mathfrak{B}(\lambda) \to \mathfrak{B}(\infty) \otimes T_\lambda \otimes C $ は厳密なクリスタル埋め込みであり、$ \mathfrak{B}(\lambda) \simeq B(\lambda) $ がクリスタルとして成り立つ。
• 非定数のねじれ因子 $ \mathcal{P}_i(u,v) $ を用いて、$ a_{ii} \leq 0 $ を満たす虚根に対して一般化 Kac-Moody代数への KLRカテゴリフィケーションを一般化する。
• 証明は、一般化 Kac-Moody代数のperfect basis理論および $ R^\lambda $ 上の誘導加群の構造に依存しており、特に誘導過程における特定の部分加群の適切性（properness）に依存する。