[論文レビュー] Categorification of the braid groups

Raphaël Rouquier|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 48

ひとこと要約

本稿は、ソルゲル代数の複体の厳密なモノイダル圏を用いたブraid群のカテゴリフィケーションを導入し、三角的圏上のブraid群作用を上昇させる高階カテゴリカル構造を提供する。モノイダル関手によるブraid群の強い作用を確立し、表現論および代数幾何学における古典的作用を一般化する。

ABSTRACT

We construct a categorification of the braid groups associated with Coxeter groups inside the homotopy category of Soergel's bimodules. Classical actions of braid groups on triangulated categories should come from an action of this monoidal category. We construct representations of this monoidal category on category O of a complex semi-simple Lie algebra and on constructible sheaves over flag varieties. We also consider general constructions of self-equivalences as reflections around another category.

研究の動機と目的

• コクセター群 $W$ のブraid群 $B_W$ をカテゴリフィケーションする厳密なモノイダル圏 ${\mathcal{B}}_W$ を構成すること。
• ブraid群が三角的圏上に作用する古典的作用を、より強いモノイダルカテゴリカルレベルに一般化すること。
• 表現論、代数幾何学、およびカテゴリー論におけるブraid群作用の統一的枠組みを提供すること。
• 既知の同型レベルの作用を上昇させる関手を用いて、導来圏上のブraid群の真の作用を確立すること。
• ${\mathcal{B}}_W$ から三角的圏の自己関手圏へのモノイダル関手としてのこのような作用が成り立つことを証明すること。

提案手法

• 多項式代数上のソルゲル代数の複体のホモトピー圏のフル部分圏として、厳密なモノイダル圏 ${\mathcal{B}}_W$ を構成する。
• アサイクルな射影的複体におけるファンクター的コーンとフロベニウス圏の理論を用いて、関手間の自然変換およびコーンを定義する。
• ${\mathbf{P}}^1$-ファイブレーションとカーネル変換の幾何を活用し、反転をカテゴリフィケーションする自己同値を構成する。
• ソルゲルの $\mathcal{O}$-理論およびデリーニュの層に関する研究の結果を応用し、$K_0$ から導来圏へのブraid群作用の上昇を実現する。
• 層の導来圏における随伴とベースチェンジ同型を用いて、関手の整合性および変換の自然性を検証する。
• 引き戻し、押し出し、およびテンソル積を含む図式的恒等式の可換性を検証し、モノイダル構造を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブraid群 $B_W$ は、ソルゲル代数の複体を用いた厳密なモノイダル圏としてカテゴリフィケーション可能だろうか？
• RQ2 三角的圏の $K_0$ 上のブraid群の古典的作用は、実際に関手および自然変換へどのように上昇可能だろうか？
• RQ3 ソルゲル代数は、カテゴリフィケーションされたブraid群作用を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 構造的層の導来圏または $\mathcal{O}$-圏上のブraid群作用は、カテゴリフィケーションされたブraid群からのモノイダル関手へ上昇可能だろうか？
• RQ5 カテゴリフィケーションされたブraid群作用とデリーニュ＝ルシュチグ多様体のコホモロジー環との関係は何か？

主な発見

• ソルゲル代数の複体を用いたカテゴリフィケーションにより、（予想的に）ブraid群 $B_W$ をカテゴリフィケーションする厳密なモノイダル圏 ${\mathcal{B}}_W$ が構成された。
• この構成により、反転をカテゴリフィケーションする三角的圏上の自己同値が得られ、球面的対象によるディーンツイストの概念を一般化する。
• $\mathcal{O}$-圏において、ブraid群が $K_0$ 上に作用する古典的作用は、関手による真の作用に上昇し、さらに ${\mathcal{B}}_W$ から ${\mathcal{C}}$ への自己関手圏 $\mathrm{Hom}({\mathcal{C}},{\mathcal{C}})$ へのモノイダル関手へ拡張される。
• フラッグ多様体において、構造的層の導来圏上のブraid群作用は、カーネル変換を介して同型類から厳密なモノイダル作用へ上昇する。
• フラッグ多様体のコホモロジー環との関係が、ブraid群作用の別証明を提供し、より強いモノイダルレベルへ拡張する。
• 本稿は、生成子と関係式による表示、ホモロジー的消滅、およびデリーニュ＝ルシュチグ多様体との関係に関する今後の研究のための枠組みを確立する。