[論文レビュー] Category forcings, $MM^{+++}$, and generic absoluteness for the theory of strong forcing axioms

Matteo Viale|arXiv (Cornell University)|May 9, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、マーティンの最大性を拡張する強力な強制公理 $\text{MM}^{+++}$ を、静的集合を保存する（SSP）完全ブール代数の圏における組合せ的性質として導入する。$\text{MM}^{+++}$ が、$P(\beth_1)$ にパラメータを含むチェンモデル $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ の理論に対する一般化絶対性を保証することを確立し、この構造へのウッドインの一般化絶対性結果の最適な拡張であることを示している。

ABSTRACT

We introduce a category whose objects are stationary set preserving complete boolean algebras and whose arrows are complete homomorphisms with a stationary set preserving quotient. We show that the cut of this category at a rank initial segment of the universe of height a super compact which is a limit of super compact cardinals is a stationary set preserving partial order which forces $MM^{++}$ and collapses its size to become the second uncountable cardinal. Next we argue that any of the known methods to produce a model of $MM^{++}$ collapsing a superhuge cardinal to become the second uncountable cardinal produces a model in which the cutoff of the category of stationary set preserving forcings at any rank initial segment of the universe of large enough height is forcing equivalent to a presaturated tower of normal filters. We let $MM^{+++}$ denote this statement and we prove that the theory of $L(Ord^{ω_1})$ with parameters in $P(ω_1)$ is generically invariant for stationary set preserving forcings that preserve $MM^{+++}$. Finally we argue that the work of Larson and Asperó shows that this is a next to optimal generalization to the Chang model $L(Ord^{ω_1})$ of Woodin's generic absoluteness results for the Chang model $L(Ord^ω)$. It remains open whether $MM^{+++}$ and $MM^{++}$ are equivalent axioms modulo large cardinals and whether $MM^{++}$ suffices to prove the same generic absoluteness results for the Chang model $L(Ord^{ω_1})$.

研究の動機と目的

• ZFC + 大きな基数の公理の自然で再帰的な拡張 $T$ を開発し、チェンモデル $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ の完全な理論を得ること。
• $\text{MM}^{+++}$ が大きな基数公理、特にクラス多くのスーパー コンパクト基数の下で相対的に整合的であることを確立すること。
• $\text{MM}^{+++}$ が、$P(\beth_1)$ にパラメータを含む $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ の理論が静的集合を保存する強制法の下で一般化不変性を保つことを示すこと。
• 強制公理が集合論および関連分野における決定不能問題を解決する成功について、事後的説明を提供すること。
• ウッドインの $L([\text{Ord}]^{\to \beth_0})$ に対する一般化絶対性結果を、より強い構造 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ に拡張すること。

提案手法

• 静的集合を保存する完全ブール代数と、静的集合を保存する商を持つ完全な準同型からなる圏 $(\text{SSP}, \text{SSP})$ を導入する。
• $\text{MM}^{+++}$ をこの圏における組合せ的性質として定義し、マーティンの最大性とバナッハ・カテゴリック定理を一般化する。
• クラス多くのスーパー コンパクト基数の仮定の下で、$\text{U}^{\text{SSP}}$ 内に $\text{SSP}$-完全に剛性を持つ要素の存在を確立する。
• SSP-強制法における凍結可能性（freezeability）の性質を適用し、埋め込み下での強制拡張の振る舞いを制御する。
• 繰り返し強制法と埋め込み（例：ほとんど巨大埋め込み）を用いて、$\text{MM}^{+++}$ が強制拡張下でどのように振る舞うかを分析する。
• $\text{U}^{\text{SSP}}$ が集合サイズの下行列、反復、ロトゥリー和に関して閉じているという性質を応用し、一般化絶対性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーティンの最大性の強化版は、静的集合を保存する完全ブール代数の圏における組合せ的性質として定式化可能か？
• RQ2 $\text{MM}^{+++}$ は、大きな基数仮定、特にクラス多くのスーパー コンパクト基数の下で整合的か？
• RQ3 $\text{MM}^{+++}$ は、$P(\beth_1)$ にパラメータを含む $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ の理論が静的集合を保存する強制法の下で一般化不変性を保つか？
• RQ4 $\text{MM}^{+++}$ と $\text{MM}^{++}$ の整合的強度を比較し、組合せ的に特徴づけられるか？
• RQ5 SSP 地域の凍結可能性やその他の構造的特徴は、他の強制法クラスへ拡張可能か？ その結果、同様の一般化絶対性を得られるか？

主な発見

• $\text{SSP}$-完全に剛性を持つ部分順序のクラスは、クラス多くのスーパー コンパクト基数の仮定の下で $\text{U}^{\text{SSP}}$ において稠密である。
• $\text{MM}^{+++}$ は、クラス多くのスーパー コンパクト基数の存在の下で相対的に整合的である。
• $<\text{inaccessible limit}$-スーパー コンパクト基数の基数初期段階 $\text{inaccessible limit}$ における切断 $\text{U}^{\text{SSP}}_{\text{inaccessible limit}}$ は、$V_{\text{inaccessible limit}}$ 内のすべての $\text{SSP}$-強制法を吸収する $\text{SSP}$-完全に剛性を持つ要素である。
• $\text{MM}^{+++}$ と静的集合を保存する強制法の下で、$P(\beth_1)$ にパラメータを含む $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ の理論に対する一般化絶対性が成り立つ。
• これらの結果は、ウッドインの $L([\text{Ord}]^{\to \beth_0})$ に対する一般化絶対性結果を、より強い構造 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ に近い最適な拡張として示している。
• 強制公理が決定不能問題を解決する成功は、$\text{MM}^{+++}$ の一般化不変性と最大性の性質によって、事後的に説明可能である。