[論文レビュー] Category-measure duality: convexity, mid-point convexity and Berz sublinearity

Ν. H. Bingham, A. J. Ostaszewski|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ベルツの部分線形性定理の圏論的類似を確立し、選択公理の完全な形ではなく、従属選択公理（DC）を用いて、バナッハ空間上のベア可測部分線形関数のグラフが、原点を通る二つの半直線からなる錐であることを証明する。この結果は、ベルツの古典的な測度論的定理を一般化し、中点凸関数の連続性に関する結果を圏論的手法により拡張する。

ABSTRACT

Category-measure duality concerns applications of Baire-category methods that have measure-theoretic analogues. The set-theoretic axiom needed in connection with the Baire category theorem is the Axiom of Dependent Choice DC rather than the Axiom of Choice AC. Berz used the Hahn-Banach Theorem over $\mathbb{Q}$ to prove that the graph of a measurable sublinear function that is $\mathbb{Q}_{+}$-homogeneous consists of two half-lines through the origin. We give a category form of the Berz theorem. Our proof is simpler than that of the classical measure-theoretic Berz theorem, our result contains Berz's theorem rather than simply being an analogue of it, and we use only DC rather than AC. Furthermore, the category form easily generalizes: the graph of a Baire sublinear function defined on a Banach space is a cone. The results are seen to be of automatic-continuity type. We use Christensen Haar null sets to extend the category approach beyond the locally compact setting where Haar measure exists. We extend Berz's result from Euclidean to Banach spaces, and beyond. Passing from sublinearity to convexity, we extend the Bernstein-Doetsch theorem and related continuity results, allowing our conditions to be `local' -- holding off some exceptional set.

研究の動機と目的

• ベルツの古典的定理における測度論的仮定をベアカテゴリー条件に置き換えた、ベルツの部分線形関数に関する圏論的類似を確立すること。
• バナッハ空間上でベア可測である部分線形関数のグラフが錐をなすことを示し、Rにおける二つの半直線構造を無限次元空間に一般化すること。
• 特にクリスティエン・ハール零集合を用いて、局所コンパクトでない状況下でも中点凸関数の自動連続性に関する結果を圏論的手法により拡張すること。
• カテゴリー的アプローチ（ベア）が測度論的バージョン（ルベーグ可測）を含意することを示し、関数方程式におけるカテゴリーと測度の強さの階層を確立すること。
• 位相的および集合論的道具（例えば、シュタインハウス＝ヴァイル性質や密度位相）を用いて、より弱い局所的条件下での部分加法的関数および凸関数に関する結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 選択公理（AC）の完全な形ではなく、従属選択公理（DC）を用いることで、結果がより構成的であり、関数解析的文脈においてより適用可能であることを保証する。
• バナッハ空間上の部分線形関数にベアカテゴリー法を適用し、その関数がベア性質を持つならば、原点を通る各半直線上で線形であることを証明する。
• シュタインハウス＝ヴァイル性質および密度位相を用いて、部分加法的関数および中点凸関数の局所的挙動と連続性を分析する。
• クリスティエン・ハール零集合を導入し、局所コンパクト空間を超えて圏論的手法を一般バナッハ空間へ拡張する。
• ブルンブルグの二分法定理を用いて、非可分バナッハ空間における連続性の問題を可分部分空間に還元し、可分部分空間での連続性が全空間での連続性を意味することを活用する。
• 局所的で、圏論的形でのベルンシュタイン＝ドエツヒュ theorem を適用し、ベア可測または普遍可測な条件下で中点凸関数の連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルツの部分線形関数に関する定理を、可測性の代わりにベア性質を仮定する圏論的設定に再定式化できるか？
• RQ2 ベアカテゴリー的アプローチは、ベルツの定理の古典的測度論的バージョンよりも強いか、より一般的な結果をもたらすか？
• RQ3 中点凸関数の自動連続性定理は、圏論的手法を用いて、局所コンパクトでない空間へどの程度まで拡張可能か？
• RQ4 クリスティエン・ハール零集合の使用により、ハール測度が存在しない一般バナッハ空間において、カテゴリー的手法をどのように拡張できるか？
• RQ5 カテゴリー的バージョンと測度論的バージョンのベルツの定理の論理的関係は何か？基礎的仮定の観点から、どちらがより強いのか？

主な発見

• ベアバージョンのベルツの定理（定理1B）は、R上の部分線形関数がベア可測であるならば、それぞれR₊およびR₋上で線形である、すなわちx ≥ 0に対してS(x) = c⁺x、x ≤ 0に対してS(x) = c⁻xであると述べる。
• 圏論的結果（定理1B）は、古典的な測度論的ベルツ定理（定理1M）を含意する。これにより、ベア条件が論理的に強く、その含意の範囲においてより一般的であることが示される。
• バナッハ空間において、ベア部分線形関数のグラフは錐をなす。これは、Rにおける二つの半直線構造を無限次元空間へ一般化する。
• 本稿では、バナッハ空間上でベア可測である中点凸関数が連続であることを証明し、ベルンシュタイン＝ドエツヒュ定理を圏論的状況へ拡張する。
• クリスティエン・ハール零集合を用いることで、ハール測度に依存しない一般バナッハ空間においてもカテゴリー的アプローチを拡張可能であり、結果を一般バナッハ空間に適用可能にする。
• カテゴリー公理（例えば、すべての射影的集合に対してBPが成り立つこと）の整合性が、ZFCに無限大基数を加えた体系と同倣的であることが示され、基礎的整合性の高さが強調される。