[論文レビュー] Category theorems for stable operators on Hilbert spaces

Tanja Eisner, Andr|ArXiv.org|May 7, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、可分な無限次元ヒルベルト空間において、弱安定な自己共役作用素の集合が第一級（位相的に小さい）であるのに対し、ほとんど弱安定な自己共役作用素の集合は残渣的（位相的に一般的）であることを確立している。これは、ハルモスおよびロフリンのエルゴディック理論におけるカテゴリの定理を、ヒルベルト空間上の作用素へと拡張したものである。結果は、弱作用素位相とバナッハのカテゴリ論的議論を用いて、ユニタリ、等長、および収縮作用素について証明されている。

ABSTRACT

We discuss the two closely related, but different concepts of weak and almost weak stability for the powers of a contraction on a separable Hilbert space. Extending Halmos' and Rohlin's theorems in ergodic theory as a model, we show that the set of all weakly stable contractions is of first category while the set of all almost weakly stable contractions is of second category and is residual. Analogous statements for unitary and isometric operators are also proved.

研究の動機と目的

• 可分な無限次元ヒルベルト空間上の弱安定作用素およびほとんど弱安定作用素のバナッハカテゴリの性質を調査すること。
• 元々測度を保つ変換に対して導かれたハルモスおよびロフリンの古典的エルゴディック理論の結果を、ヒルベルト空間上の有界線形作用素の設定へと拡張すること。
• 作用素のべき有界性の文脈において、弱安定性とほとんど弱安定性の間の位相的差異を明確にすること。
• ほとんど弱安定性が一般的（残渣的）であるのに対し、弱安定性がまれ（第一級）であることを、収縮作用素、ユニタリ作用素、および等長作用素の空間において証明すること。
• 固定された稠密な部分集合と収束基準を用いて、弱作用素位相における収縮作用素に対してカテゴリ論的結果を確立すること。

提案手法

• ジャコブス–グリクスバーグ–ドゥ・ルーウ分解を用いて、ヒルベルト空間をスペクトル的部分空間と安定的部分空間に分解し、漸近的解析に安定的部分空間に注目する。
• 弱安定性を、すべての x, y ∈ H に対して行列係数 ⟨Tⁿx, y⟩ の点毎の弱収束 ⟨Tⁿx, y⟩ → 0 として定義する。また、ほとんど弱安定性を、ゼロへの弱収束を示す部分列の存在として定義する。
• 可算な稠密部分集合 {xⱼ} を用いて、d(T, S) = Σᵢⱼ 2⁻ⁱ⁻ʲ |⟨Txᵢ, xⱼ⟩ − ⟨Sxᵢ, xⱼ⟩| / (‖xᵢ‖‖xⱼ‖) で定義される完備な距離位相を収縮作用素の空間に導入する。
• 弱収束から強収束への補題を適用する：Tₙ → S が弱収束し、すべての x に対して ‖Tₙx‖ ≤ ‖Sx‖ が成り立つならば、Tₙ → S は強収束する。
• 弱安定作用素の集合が、無限個の空でない部分集合の可算和に含まれること（第一級）を証明する。一方、ほとんど弱安定作用素の集合は Gδ 集合であり、その補集合が稠密な Gδ 集合である（残渣的）。
• 周期的ユニタリ作用素およびほとんど弱安定ユニタリ作用素の収縮作用素空間における稠密性を用いて、それらの補集合が空でない部分集合であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可分なヒルベルト空間上のすべての収縮作用素の空間において、弱安定収縮作用素の集合は位相的に小さい（第一級）か？
• RQ2 同じ空間において、ほとんど弱安定収縮作用素の集合は位相的に大きい（残渣的）か？
• RQ3 ユニタリ、等長、および収縮作用素に対して、弱安定性とほとんど弱安定性のバナッハカテゴリの性質はどのように比較できるか？
• RQ4 エルゴディック理論におけるカテゴリ的結果（ハルモスおよびロフリン）を、ヒルベルト空間上の有界線形作用素へと拡張できるか？
• RQ5 弱作用素位相において、弱安定性がまれでほとんど弱安定性が一般的であることを保証する位相的条件は何か？

主な発見

• 可分な無限次元ヒルベルト空間上のすべての収縮作用素の空間において、弱安定収縮作用素の集合は弱作用素位相のもとで第一級である。
• 同じ空間において、ほとんど弱安定収縮作用素の集合は残渣的であり、これは位相的に一般的であることを意味する。
• ユニタリ作用素に対しては、ほとんど弱安定作用素の集合は残渣的であるが、弱安定作用素の集合は第一級である。
• 等長作用素に対しても、同様のカテゴリの二分法が成り立つ：弱安定性は第一級、ほとんど弱安定性は残渣的である。
• 証明は弱収束から強収束への補題と、収縮作用素空間における周期的ユニタリ作用素およびほとんど弱安定ユニタリ作用素の稠密性に依存している。
• カテゴリの違いは弱作用素位相において成立し、固定された H 内の稠密な数列を用いて定義される弱作用素位相の距離のもとで、結果は安定である。