[論文レビュー] Cauchy-Born Rule from Microscopic Models with Non-convex Potentials

Stefan Adams, Simon Buchholz+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、非凸相互作用を有する格子勾配モデルに対して、新規のマルチスケール再帰的群手法を用いて、Cauchy-Born則の確立を達成している。低温かつ微小な変形の下で、アフィン変形に関する自由エネルギーの厳密な凸性を証明し、ギブス測度のスケーリング極限が特定の共分散を有するガウス勾配場に対応することを同定している。これは回転対称性のないベクトルモデルに対しても、厳密な再帰的群技法を拡張したものである。

ABSTRACT

We study gradient field models on an integer lattice with non-convex interactions. These models emerge in distinct branches of physics and mathematics under various names. In particular, as zero-mass lattice (Euclidean) quantum field theory, models of random interfaces, and as mass-string models of nonlinear elasticity.Our attention is mostly devoted to the latter with random vector valued fields as displacements for atoms of crystal structures,where our aim is to prove the strict convexity of the free energy as a function of affine deformations for low enough temperatures and small enough deformations. This claim can be interpreted as a form of verification of the Cauchy-Born rule at small non-vanishing temperatures for a class of these models. We also show that the scaling limit of the Laplace transform of the corresponding Gibbs measure (under a proper rescaling) corresponds to the Gaussian gradient field with a particular covariance. The proofs are based on a multi-scale (renormalisation group analysis) techniques needed in view of strong correlations of studied gradient fields. To cover sufficiently wide class of models, we extend these techniques from the standard case with rotationally symmetric nearest neighbour interaction to a more general situation with finite range interactions without any symmetry. Our presentation is entirely self-contained covering the details of the needed renormalisation group methods.

研究の動機と目的

• 非凸な微視的相互作用を有する系において、低温かつ非ゼロの温度における非線形弾性理論におけるCauchy-Born則を厳密に裏付けること。
• 回転対称性を持つ最近接原子相互作用に限らない、一般の有限範囲かつ非対称なベクトル相互作用に対して、マルチスケール再帰的群技法を拡張すること。
• 熱力学的極限において、アフィン変形を関数とする自由エネルギーの厳密な凸性を確立すること。
• ギブス測度のラプラス変換のスケーリング極限が、明確に定義された共分散構造を有するガウス勾配場に対応することを同定すること。
• 非凸ポテンシャルを有する勾配場における強い相関を制御するための新しい大場所レギュレータおよび行列推定法の開発

提案手法

• 非凸ポテンシャルを有する勾配場モデルに特化した自己完結的マルチスケール再帰的群フレームワークを構築する。
• 高場寄与を制御し収束を保証するために、重み関数を用いた新しい大場所レギュレータを導入する。
• ハミルトニアンの有限範囲分解を用いて、複数スケールにわたる系の粗化を段階的に実行する。
• 再帰的写像に安定多様体定理を適用し、固定点に到達するための初期条件の微調整を可能にする。
• ポリマー展開と関連ハミルトニアン射影を用いて、自由エネルギーに寄与する主要な寄与を分離・制御する。
• 再帰的写像における作用素のノルム推定と劣加法的性質を確立し、収束性と滑らかさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低温かつ非ゼロの温度における非凸ポテンシャルを有する非線形弾性モデルに対して、Cauchy-Born則は成立するか？
• RQ2 非凸な微視的相互作用を有する系においても、アフィン変形に関する自由エネルギーが厳密に凸となるか？
• RQ3 適切なスケーリング下で、これらのモデルにおけるギブス測度のスケーリング極限は何か？
• RQ4 再帰的群技法は、有限範囲かつ非対称な相互作用を有するベクトルモデルへどのように拡張可能か？
• RQ5 非凸勾配系における強い相関を制御するために、どのような新しい技術的道具が必要か？

主な発見

• 十分に低温かつ微小な変形の下で、アフィン変形を関数とする自由エネルギーは厳密に凸であることが確認され、Cauchy-Born則の一種が裏付けられた。
• ギブス測度のラプラス変換のスケーリング極限は、特定の非自明な共分散行列を有するガウス勾配場に対応する。
• 重み関数に基づく新しい大場所レギュレータにより、収束性が保証され、系内の強い相関が制御可能となった。
• 再帰的写像が滑らかで良好に振る舞うことが示され、線形化作用素および逆作用素に一様な有界性が保証された。
• 回転対称性を仮定せず、非対称かつ有限範囲の相互作用を効果的に取り扱うことができ、厳密な再帰的群技法の適用範囲が拡張された。
• 抽象的摂動定理は、一般化勾配モデル、離散的弾性、抽象的摂動の結果を包含する一般的な枠組みを提供する。