[論文レビュー] Cauchy difference priors for edge-preserving Bayesian inversion with an application to X-ray tomography

Markku Markkanen, Lassi Roininen+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、線形逆問題におけるエッジを保持するベイジアン逆問題に、Cauchy差分事前分布を提案する。Lévy α安定ランダムウォーク（α=1）を用いることで、再構成におけるエッジの忠実性を維持する。X線トモグラフィーにおいて、ガウス事前分布や全変動（TV）事前分布を凌駕し、低測定数や高ノイズ条件下でも優れた性能を示す。メトロポリス・ハスティングス法による条件付き平均推定と、ガウス＝ニュートン法によるMAP推定により、アーチファクトのない安定した再構成が、密度の高いメッシュ上でも達成された。

ABSTRACT

We study Cauchy-distributed difference priors for edge-preserving Bayesian statistical inverse problems. On the contrary to the well-known total variation priors, one-dimensional Cauchy priors are non-Gaussian priors also in the discretization limit. Cauchy priors have independent and identically distributed increments. One-dimensional Cauchy and Gaussian random walks are special cases of Lévy $α$-stable random walks with $α=1$ and $α=2$, respectively. Both random walks can be written in closed-form, and as priors, they provide smoothing and edge-preserving properties. We briefly discuss also continuous and discrete Lévy $α$-stable random walks, and generalize the methodology to two-dimensional priors. We apply the developed algorithm to one-dimensional deconvolution and two-dimensional X-ray tomography problems. We compute conditional mean estimates with single-component Metropolis-Hastings and maximum a posteriori estimates with Gauss-Newton-type optimization method. We compare the proposed tomography reconstruction method to filtered back-projection estimate and conditional mean estimates with Gaussian and total variation priors.

研究の動機と目的

• ガウス事前分布の平滑化アーチファクトを回避する、離散化不変でエッジを保持するベイジアン逆問題のための事前分布を開発すること。
• 高次元における全変動（TV）事前分布の離散化不変性の欠如に起因するエッジ保持性能の低下を是正すること。
• 安定で重尾的挙動を示す非ガウス的代替手法として、差分事前分布におけるCauchy分布の増分の使用を検討すること。
• 1次元デコンボリューションおよび2次元X線トモグラフィーへの応用を通じて、標準的事前分布およびフィルタドバックプロジェクションとの性能比較を実施すること。
• TV事前分布が失敗するような密度の高い計算メッシュ上でも、Cauchy事前分布がエッジ保持を維持できることを示すこと。

提案手法

• α=1 におけるLévy α安定ランダムウォークの特別なケースとして、1次元Cauchy差分事前分布を構築し、離散化極限における非ガウス的増分を保証する。
• 事後分布の条件付き平均（CM）推定を実行するため、1成分メトロポリス・ハスティングスサンプリングを用いる。
• Cauchy事前分布下での最大事後確率（MAP）推定を実行するため、ガウス＝ニュートン型最適化を採用する。
• 線形前方モデルに加法的ガウスノイズを適用し、1次元デコンボリューションおよび2次元X線トモグラフィーの両方へ事前分布を適用する。
• 計算効率を高めるために、MEX/Cインタフェースを用いてアルゴリズムを実装し、チェーン長を500万、バーニングステップを250万に設定する。
• 連続的Cauchyランダム場への収束を保証することで、離散化不変性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cauchy分布の差分事前分布は、離散化不変性を保ちつつ、ベイジアン逆問題におけるエッジ保持を達成できるか？
• RQ2 低SNR条件下における再構成品質の観点から、Cauchy事前分布はガウス事前分布や全変動（TV）事前分布と比べてどのように優れているか？
• RQ3 α=1 におけるLévy α安定ランダムウォークの使用は、高次元逆問題において、ガウス分布やTV事前分布よりも優れたエッジ保持性能をもたらすか？
• RQ4 測定数が減少したりノイズが増加したりした場合でも、提案手法は性能を維持できるか？
• RQ5 アルゴリズムの計算コストは未知数の数に比例しており、スケーラビリティがあると示せるか？

主な発見

• X線トモグラフィーにおいて、Cauchy事前分布を用いた条件付き平均推定は、TV事前分布よりも明確な再構成を達成し、ガウス事前分布ほど多くのアーチファクトを発生させなかった。
• 400×400および800×800の高密度グリッド上でも、Cauchy事前分布はエッジ保持を維持しており、解像度が異なる場合でも再構成結果が本質的に同一に見えることが確認された。
• ノイズ増加や測定数減少の条件下でも、Cauchy事前分布を用いた条件付き平均推定は、TV事前分布よりもより頑健であった。
• Cauchy事前分布を用いたMAP推定は、条件付き平均推定よりも計算が高速であったが、まれにCM推定に存在しない偽のピークを生成する場合があった。
• 再構成時間は未知数の数に対してほぼ線形に増加した：200×200では約24時間、400×400では約96時間であり、O(N)の計算量であることが示された。
• フィルタドバックプロジェクションは深刻なアーチファクトを生じたが、Cauchy事前分布の再構成は、微細構造およびエッジをより正確に捉えていた。