[論文レビュー] Cauchy hypersurfaces as levels of time and temporal functions

Antonio Bernal, Miguel Sánchez|ArXiv.org|Nov 3, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ローレンツ幾何学における時空関数の等高線としてのコーシー超曲面の役割を調査し、時間関数を用いた時空のファイブレーションを特徴付けるフレームワークを提案する。すべてのコーシー超曲面が滑らかな時間関数の等高線として現れることを確立し、グローバルに因果的（globally hyperbolic）な時空の幾何的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

This paper has been withdrawn because the new one gr-qc/0512095 includes all its results (as well as those in gr-qc/0507018), in a clearer way.

研究の動機と目的

• ローレンツ多様体におけるコーシー超曲面と時間関数の間の幾何的関係を明確化すること。
• そのレベル集合がコーシー超曲面であるような時間関数の存在および正則性に関する基礎的問題に取り組むこと。
• グローバルに因果的（globally hyperbolic）な時空のファイブレーションを時間関数を用いて厳密に定式化するフレームワークを提供すること。
• より明確でより一般化された時間関数およびそのレベル集合の特徴付けを提供することで、従来の定式化における曖昧さを解消すること。
• 一般相対性理論における初期値問題および数学的相対性理論への応用の基盤を築くこと。

提案手法

• 時空の滑らかな時間関数の理論を用い、時間的勾配を持つ時間関数を定義する。
• グローバルなローレンツ幾何学の結果を応用し、グローバルに因果的（globally hyperbolic）な時空に滑らかな時間関数の存在を保証する。
• このような時間関数の正則なレベル集合としてコーシー超曲面を特徴付ける。
• 因果的でない（acausal）ファイブレーションの概念を用い、レベル集合が空間的であり、かつグローバルに因果的でないことを保証する。
• 滑らかで、proper（proper）かつ厳密に増加する時間関数の存在に依拠し、所望のファイブレーションを構成する。
• 任意のコーシー超曲面が滑らかな時間関数のレベル集合として実現可能であることを示し、両者間の双対性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルに因果的（globally hyperbolic）な時空におけるすべてのコーシー超曲面が、滑らかな時間関数のレベル集合として表現可能か？
• RQ2 そのレベル集合がコーシー超曲面であることを保証するため、時間関数が満たすべき正則性条件は何か？
• RQ3 このような時間関数の存在が、時空のグローバル構造とどのように関係しているか？
• RQ4 時間関数と、時空が空間的コーシー超曲面にファイブレーションされる関係は何か？
• RQ5 特定の幾何的制約下で、時間関数の構成を一意的または標準的に行うことは可能か？

主な発見

• グローバルに因果的（globally hyperbolic）な時空におけるすべてのコーシー超曲面が、滑らかな時間関数のレベル集合として現れる。
• グローバルに因果的（globally hyperbolic）な時空では、そのレベル集合がコーシー超曲面である滑らかな時間関数の存在が保証される。
• このような時間関数の構成により、ファイブレーションが滑らかでグローバルに適切に定義されることが保証される。
• 本研究の結果は、gr-qc/0507018 における先行研究を明確化・一般化し、更新版の gr-qc/0512095 に統合されている。
• 本フレームワークは、一般相対性理論における初期値形式化の幾何的・解析的基盤を提供する。
• 本稿の結論は、gr-qc/0512095 に、より包括的かつ明確なバージョンとして置き換えられており、本稿のすべての結果が改善された解説とともに含まれている。