[論文レビュー] Causal Modeling of Dynamical Systems

Stephan Bongers, Tineke Blom+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2018

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の次数の確率微分方程式に従う確率過程としての要素をモデル化することにより、連続時間の力学的システムに一般化された構造的因果モデル（SCM）を拡張する、構造的動的因果モデル（SDCMs）という形式的枠組みを導入する。主な貢献は、SDCMsの存在・一意性、マルコフ性、平衡挙動に関する厳密な理論の確立であり、SDCMsは因果推論を原理的かつ時間依存的にSCMの意味論に拡張可能である。

ABSTRACT

Dynamical systems are widely used in science and engineering to model systems consisting of several interacting components. Often, they can be given a causal interpretation in the sense that they not only model the evolution of the states of the system's components over time, but also describe how their evolution is affected by external interventions on the system that perturb the dynamics. We introduce the formal framework of structural dynamical causal models (SDCMs) that explicates the causal semantics of the system's components as part of the model. SDCMs represent a dynamical system as a collection of stochastic processes and specify the basic causal mechanisms that govern the dynamics of each component as a structured system of random differential equations of arbitrary order. SDCMs extend the versatile causal modeling framework of structural causal models (SCMs), also known as structural equation models (SEMs), by explicitly allowing for time-dependence. An SDCM can be thought of as the stochastic-process version of an SCM, where the static random variables of the SCM are replaced by dynamic stochastic processes and their derivatives. We provide the foundations for a theory of SDCMs, by (i) formally defining SDCMs, their solutions, stochastic interventions, and a graphical representation; (ii) studying existence and uniqueness of the solutions for given initial conditions; (iii) providing Markov properties for SDCMs with initial conditions; (iv) discussing under which conditions SDCMs equilibrate to SCMs as time tends to infinity; (v) relating the properties of the SDCM to those of the equilibrium SCM. This correspondence enables one to leverage the wealth of statistical tools and discovery methods available for SCMs when studying the causal semantics of a large class of stochastic dynamical systems. The theory is illustrated with examples from different scientific domains.

研究の動機と目的

• 従来のSCMが時間の表現を欠いているため、時間的に対称的である連続時間力学的システムにおける因果的意味論を形式化すること。
• 確率過程と確率微分方程式を用いて、時間依存的かつ確率的・連続的な力学的挙動を扱えるように、構造的因果モデル（SCM）を拡張すること。
• 一般条件下で、SDCMsの基本的性質（存在・一意性・マルコフ性・平衡収束）を確立すること。
• 時間の無限大に近づく際のSDCMsの平衡SCMへの収束を保証することで、力学的システムにおける因果推論を可能にすること。
• do計算と確率的介入をサポートする、図的かつ介入的枠組みをSDCMsに提供すること。

提案手法

• SDCMsをSCMの確率過程への拡張として提案し、静的な確率変数を確率過程およびその導関数に置き換える。
• 任意の次数の確率微分方程式の系としてSDCMsを定義し、各要素を自律的な因果的メカニズムとして表現する。
• 初期条件および外生的ノイズが与えられた下で、系を満たす確率過程としてSDCMsの解を定義する。
• 終内的確率過程をノード、因果的依存関係をエッジとする有向グラフを用いてSDCMsの図的表現を構築する。
• do計算を用いた確率的介入を定義し、成分に対する完全な介入とソフト介入を含む。
• 適切な安定性条件下で、SDCMsの解が時間の経過とともにSCMに収束することを確立し、SCMのツールを力学的システムへと移行可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的に対称的であるがために、因果的意味論を連続時間力学的システムに形式的に埋め込むにはどうすればよいか？
• RQ2 初期条件およびノイズ分布が与えられたとき、SDCMsの解が存在し、一意的であるための条件は何か？
• RQ3 初期条件を伴うSDCMsに成り立つマルコフ性とは何か？ また、解パスにおける条件付き独立性とどのように関係するか？
• RQ4 時間の無限大に近づく際、SDCMsがどのような条件下で平衡SCMに収束するのか？
• RQ5 SDCMsにおける介入は、平衡SCMにおけるdo介入とどのように対応するか？ 両者の分布との関係は何か？

主な発見

• SDCMsは、任意の次数の確率微分方程式を用いて、連続時間力学的システムにおける因果的メカニズムを明示的にモデル化する形式的枠組みを提供する。
• ドリフト関数および拡散関数にややきめ細かい正則性条件が課されれば、SDCMsの解は存在し、一意的であることが保証され、モデルの適切な定式化が可能になる。
• SDCMsはその図的構造に関してマルコフ性を満たし、解パスにおける条件付き独立性が因果グラフにおけるd分離と結びつく。
• 適切な安定性条件下では、SDCMsの解は時間の経過とともに平衡SCMに収束し、極限分布は平衡モデルと整合的である。
• 確率的介入（完全な介入を含む）は、介入された解過程を明確に定義し、その極限が対応する平衡SCMにおけるdo介入の極限と一致する。
• 線形SDCMsでは、対角化可能な安定化行列が存在すれば、すべての解が収束し、平衡モデルは元のSDCMの因果的構造を引き継ぐ。