[論文レビュー] Causal set as a discretized phase spacetime

Roman Sverdlov|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、速度を動的自由度として組み込むことで、量子重力における離散性、局所性、相対論的共変性を統合する7次元の幾何的背景として、位相時空（PST）を提案する。PSTに通常の時空を置き換えることで、光円錐特異性が解消され、因果セット上での解析的量子場理論が重ね合わせ原理によって可能となり、数値的手法を回避できる。

ABSTRACT

The first goal of this paper is to show that discreteness, locality, and relativistic covariance can peacefully coexist if the ordinary spacetime (OST) is replaced with phase spacetime (PST) as a geometric background of a Poisson process, where PST is a spacetime generalization of a notion of phase space (this is a 7-dimensional version of the 8-dimensional structure proposed by Caianiello). Furthermore, Caianiello's idea of finite acceleration is implemented. After this is done, the paper then goes on to generalize the geometric notions obtained from the intuition of PST to a general discrete causal set, without any geometric background. It then takes advantage of the absence of lightcone singularity to attempt to tackle the definition of PST-like causal set; that is, a discrete system that approximates the geometrical properties that we would expect from continuum PST. Finally, the paper proceeds to introduce quantum field theory on a causal set, and shows that the locality gained by switching from OST to PST brings us one step closer to be able to treat quantum field theory on a causal set analytically rather than numerically.

研究の動機と目的

• 位相時空（PST）を幾何的背景として導入することで、離散的時空モデルにおける非局所性の問題を解決すること。
• 相対論的に共変な離散的枠組み内で、カイアネロの有限加速度原理を実装すること。
• PSTに由来する幾何的概念を連続的背景を持たない抽象的因果セットへ一般化すること。
• 光円錐特異性を排除することで、因果セット上での量子場理論の解析的取り扱いを可能にすること。
• 優先フレームを必要としない相対論的で離散的な量子場理論の基盤を確立すること。

提案手法

• 時空点と単位時間的速度ベクトルの組み合わせからなる7次元多様体として位相時空（PST）を定義し、位相空間を時空へ一般化すること。
• PST上でポアソン過程を用いて離散的因果セットを生成し、無限大の因果的リンクを回避する有限の相互作用スケールを保証すること。
• 位置座標と速度座標の両方の関数として場を定義し、通常の時空における場の値の曖昧さを解消すること。
• PST内での点同士の近接性に制限を加えることで局所性を強制し、有限でフレームに依存しない因果的接続を保証すること。
• フーリエ分解による重ね合わせ原理を適用し、場のダイナミクスの解析的計算を可能にすること。
• 曲率の上限を用いて、PSTのベクトルと場の勾配が近似的に一致する状態として粒子状態を定義すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通常の時空を位相時空に置き換えることで、量子重力枠組みにおいて離散性、局所性、相対論的共変性が共存可能か？
• RQ2 カイアネロの有限加速度原理は、離散的で相対論的に共変な設定でどのように実装可能か？
• RQ3 位相時空の幾何的構造は、連続的背景を持たない抽象的因果セットへ一般化可能か？
• RQ4 PSTを用いることで、因果セット上での量子場理論を数値的ではなく解析的にどの程度取り扱えるか？
• RQ5 優先フレームに依存せずに、離散的で曲がったPST枠組みにおいて粒子状態をどのように定義できるか？

主な発見

• PST枠組みでは、速度を独立した次元として扱うことで光円錐特異性が解消され、相対論的領域でも有限な因果的接続が保証される。
• PSTにおける場は位置と速度の両方に依存するため、同じ時空点に異なる速度を持つ場合の場の値の曖昧さが解消される。
• PSTの使用により、フーリエ分解による重ね合わせ原理が可能になり、因果セット上での量子場理論の解析的取り扱いが実現される。
• PSTにおける因果セットはすべての参照系で多様体に類似した性質を持ち、優先フレームの必要性を回避し、相対論的共変性を保つ。
• 粒子状態に対する有限で曲率に依存するずれがモデルで支持され、離散的で曲がった時空における粒子の定義が一貫して可能となる。
• 場の勾配をPSTのベクトルと一致させるように制限することで、有限な相互作用スケールが保証され、離散的領域における非局所性が回避される。