[論文レビュー] Causality analysis of waves and wave equations obeying attenuation

Richard Kowar|ArXiv.org|Jan 9, 2009

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、減衰波動方程式における因果性を保証するには、クラマース＝クロニッヒ関係が必要なだけではなく、不十分であることを示している。一般化されたペイリー＝ウイーナー＝シュワーツの定理を適用することで、著者は周波数のべき乗則（γ ∈ (0,1)）に従う因果的波動方程式を導出し、熱超音波トモグラフィーに適した有限の前線速度を持つ修正された熱粘性波動方程式を提案する。

ABSTRACT

In this paper we show that the standard causality condition for attenuated waves, i.e. the Kramers-Kronig relation that relates the attenuation law and the phase speed of the wave, is necessary but not sufficient for causality of a wave. By causality of a wave we understand the property that its wave front speed is bounded. Although this condition is not new, the consequences for wave attenuation have not been analysed sufficiently well. We derive the wave equation (for a homogeneous and isotropic medium) obeying attenuation and causality and with a generalization of the Paley-Wiener-Schwartz Theorem (cf. Theorem 7.4.3. in \cite{Ho03}), we perform a causality analysis of waves obeying the frequency power attenuation law. Afterwards the causality behaviour of Szabo's wave equation (cf. \cite{Szabo94}) and the thermo-viscous wave equation are investigated. Finally, we present a generalization of the thermo-viscous wave equation that obeys causality and the frequency power law (for powers in $(1,2]$ and) for small frequencies, which we propose for Thermoacoustic Tomography.

研究の動機と目的

• 減衰波動伝播における因果性のための必要条件と十分条件の違いを明確化すること。
• 標準的な減衰則（γ ≥ 1、例えば周波数のべき乗則）がクラマース＝クロニッヒ関係を満たしても、なぜ有限の前線速度を保証できないのかを解明すること。
• 周波数のべき乗減衰則（γ ∈ (1,2]）に従い、かつ有限で一定の前線速度を維持する波動方程式を導出すること。
• 熱超音波トモグラフィーに適した因果的挙動と正しい減衰スケーリングを有する、修正された熱粘性波動方程式を提案すること。
• 分布論および複素解析を用いて、既知のモデル（例えば、ツァボの式や古典的熱粘性波動方程式）の前線速度を厳密に分析すること。

提案手法

• 一般化されたペイリー＝ウイーナー＝シュワーツの定理を用いて、上半平面における複素波数の解析的性質および減衰特性を特徴づけ、有限の前線速度を保証する。
• クラマース＝クロニッヒ関係を必要条件として用いるが、グリーン関数の因果性および前線速度の定義を用いて追加の制約を導入する。
• 原始平方根を用いて定義される複素波数 α*(ω) から波動方程式 (41) を導出し、複素周波数平面における解析性および減衰条件によって因果性を保証する。
• レムマ 4.2 の性質 (B1) および (B2) を検証することで、グリーン関数の前線速度が有限かつ一定の速度 c₀ で伝播することを確認する。
• 修正された波動方程式と古典的熱粘性波動方程式を比較し、前者が有限の前線速度を維持するのに対し、後者はそうではないことを示す。
• フーリエ変換およびヒルベルト変換を用いて減衰則 α(ω) と位相速度 c(ω) を関連させ、分布的因果性を用いて波動応答の台の条件を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜクラマース＝クロニッヒ関係は、減衰波動において因果性を保証できないのか、たとえそれが必要条件であっても？
• RQ2 周波数のべき乗減衰を有する波動方程式において、有限の前線速度を保証するために追加で必要な数学的条件は何か？
• RQ3 周波数のべき乗則 α(ω) = α₀|ω|γ（γ ∈ (1,2]）に従い、かつ有限の前線速度を維持する波動方程式を構築できるか？
• RQ4 ツァボの波動方程式および古典的熱粘性波動方程式の前線速度は、提案された因果的モデルとどのように異なるか？
• RQ5 c₀ → ∞ の極限において、提案された因果的波動方程式の振る舞いはどのようなものか？また、これは古典的熱粘性モデルとどのように関係するか？

主な発見

• クラマース＝クロニッヒ関係は、減衰波動における因果性にとって必要であるが十分ではない。複素周波数平面における追加の解析的性質および減衰条件が要求される。
• 周波数のべき乗則（γ ≥ 1）では、クラマース＝クロニッヒ関係を満たしても、波の前線速度が無限大になってしまうため、因果性に反する。
• 周波数のべき乗則（γ ∈ (1,2]）を満たし、かつ有限で一定の前線速度 c₀ を維持する新しい波動方程式 (41) が導出された。
• 提案された波動方程式のグリーン関数は、前線速度が正確に c₀ に等しく、ε = 0 の摂動に対しても安定であることが示された。
• 古典的熱粘性波動方程式は、無限の前線速度を持つことが示された（lim_{c₀→∞} L G_{c₀} = G_{tv} により）、因果的でないことが確認された。
• 修正された波動方程式は、有限の前線速度が必須である熱超音波トモグラフィーにおいて、物理的に整合性のあるモデルを提供する。