[論文レビュー] Causality is an effect

L. S. Schulman|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2000

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、古典的および量子系における時間対称な二時刻境界条件から、因果性および熱力学的時間の矢が生じることを提案している。両端の時刻で低エントロピー状態が成立する場合、系の時間的中心に向かってエントロピーが増加し、因果的順序（結果が原因に続く）が現れる。主な結果は、因果性およびエントロピー増加が、時間対称な力学と粗粒度化から導かれるものであり、事前に仮定されるものではないことである。

ABSTRACT

Using symmetric boundary conditions at separated times, I show analytically that both the time ordering of (macroscopic) causality and the direction of entropy increase follow from these boundary conditions. In particular, when the endpoints have low entropy, these arrows of time point away from the ends and toward the middle. Causality in this context means that when perturbations are applied, the effect of the perturbation---the macroscopic change in the system's behavior---is confined to one temporal side of the perturbations. These results hold for both mixing and integrable systems, although relaxation for integrable systems is incomplete. Simulations are presented for purposes of illustration.

研究の動機と目的

• 時間対称な境界条件から、時間的順序を事前に仮定せず、巨視的因果性および熱力学的時間の矢を導出すること。
• 両端の時刻で低エントロピー状態が成立する場合、エントロピー増加および因果的順序（結果が原因に続く）が、両方とも導かれるかを示すこと。
• これまでの力学的系の結果を、周波数平均化を用いて可積分系へと拡張すること。
• 初期値問題の形式を避けることで、時間的順序を事前に仮定しない、因果性の循環的でない基礎を提供すること。

提案手法

• t=0 および t=T で低エントロピー状態をとる二時刻境界値問題を定式化する。
• 位相空間 Ω 上で測度を保つ力学（古典的またはユニタリ量子発展）を用い、粗粒度化分割 {Δα} を導入する。
• 粗粒度化された時間発展をモデル化するため、確率的遷移行列 R(β,α) = μ(Δβ ∩ φ(t)(Δα)) / vα を定義する。
• 任意の確率的行列 M に対して S(Mp|Mq) ≥ S(p|q) が成り立つという定理を適用し、粗粒度化下でのエントロピー非減少を証明する。
• ヒルベルト空間の部分空間、射影演算子、トレース演算子を用いて、量子版を構築し、同じエントロピー非減少構造を維持する。
• 片方の部分系に外部からの摂動を導入しつつ、他の部分系とは同一の境界条件を維持することで、時間的非対称性をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間対称な力学から、巨視的因果性（結果が原因に続く）が導けるか、それとも事前に仮定されるべきか？
• RQ2 両端で低エントロピー状態をとる二時刻境界条件から、熱力学的時間の矢（エントロピー増加）が生じるか？
• RQ3 リラクゼーションが不完全な可積分系では、因果性およびエントロピー増加はどのように振る舞うか？
• RQ4 自由意思を想起させない形で、摂動の概念を決定論的力学と外部影響を用いて定義できるか？

主な発見

• t=0 および t=T で低エントロピー状態にある系では、粗粒度化および確率的遷移行列のおかげで、両境界時刻から離れるにつれてエントロピーが単調に増加する。
• 古典的および量子的両系において、エントロピー非減少性が成り立つ。量子版はユニタリ発展およびトレースに基づく粗粒度化から導かれる。
• 因果性（摂動の片側の時間的領域に限り、結果が制限される）は、同じ二時刻境界条件から解析的に導出可能である。
• カオス的系では、リラクゼーションおよび因果的性質が強く、対称的である。可積分系ではリラクゼーションが不完全であるが、周波数平均化によって回復可能である。
• 数値シミュレーションにより、解析的結果が確認され、対称的なエントロピー増加および巨視的挙動における時間的非対称性が示された。
• 時間的順序を事前に仮定せず、時間対称な境界条件と粗粒度化から導出するため、循環的でない枠組みが実現された。