[論文レビュー] Cavity QED and Quantum Computation in the Weak Coupling Regime II : Complete Construction of the Controlled-Controlled NOT Gate

Kazuyuki Fujii, Kyoko Higashida+2 more|ArXiv.org|Jan 11, 2005

Quantum Information and Cryptography参考文献 12被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、弱い結合領域において、ラビ振動と共鳴条件を活用することで、キャビティQEDにおける制御された制御されたNOT（トフォリ）ゲートを数学的に厳密でヒューリスティックでない方法で構築する。既存の研究を拡張し、3量子ビット用のトフォリゲートの実装を完了するとともに、キャビティ内に閉じ込められレーザーで冷却された原子を用いた制御操作に基づく普遍的量子回路の構築のための一般的なフレームワークを提案する。

ABSTRACT

In this paper we treat a cavity QED quantum computation. Namely, we consider a model of quantum computation based on n atoms of laser-cooled and trapped linearly in a cavity and realize it as the n atoms Tavis-Cummings Hamiltonian interacting with n external (laser) fields. We solve the Schr{\" o}dinger equation of the model in the weak coupling regime to construct the controlled NOT gate in the case of n=2, and to construct the controlled-controlled NOT gate in the case of n=3 by making use of several resonance conditions and rotating wave approximation associated to them. We also present an idea to construct general quantum circuits. The approach is more sophisticated than that of the paper [K. Fujii, Higashida, Kato and Wada, Cavity QED and Quantum Computation in the Weak Coupling Regime, J. Opt. B : Quantum Semiclass. Opt. {\bf 6} (2004), 502]. Our method is not heuristic but completely mathematical, and the significant feature is based on a consistent use of Rabi oscillations.

研究の動機と目的

• 3つの捕獲原子に対するキャビティQEDにおける制御された制御されたNOT（トフォリ）ゲートの完全な構築を完了すること。これは、先行研究では未完であった。
• 外部レーザー場を用いたTavis–Cummingsハミルトニアンに基づく、ヒューリスティックでない数学的に整合性のある方法で、多量子ビット量子ゲートを実装すること。
• トフォリゲートを超える一般の量子回路の構築を可能にするフレームワークを拡張し、量子計算における普遍性を保証すること。
• n ≥ 5個の原子への拡張における技術的制限を解決するため、共鳴条件とラビダイナミクスに基づくスケーラブルなアプローチを提案すること。

提案手法

• モデルは、n原子のTavis–Cummingsハミルトニアンとn本の外部古典的レーザー場の結合を用い、弱い結合定数と回転波近似を適用する。
• 特定の共鳴条件（Δ = Ω_j）の下でシュレーディンガー方程式を解き、原子準位間の制御されたラビ振動を可能にする。
• 有効な2準位ハミルトニアンの時刻順指数関数を用いてユニタリな時間発展を構築し、相互作用表示および回転波近似から導出する。
• n=2の場合の制御NOTゲートは、レーザーの周波数オフセットとラビ周波数を調整することで、条件付き位相シフトとエンタングルメントを誘発する。
• n=3の場合の制御された制御されたNOTゲート（トフォリゲート）は、共鳴に合わせたレーザーパルスと位相制御を用いて、3つの異なる制御NOT操作を逐次実装する。
• 全ハミルトニアンをユニタリ変換によりブロック対角形式に変換し、ゲート操作に必要な量子ビット部分空間を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い結合領域におけるキャビティQEDで、制御された制御されたNOTゲートを完全かつ数学的に厳密に構築する方法は何か？
• RQ2 多量子ビットエンタングルメントゲートをヒューリスティックな仮定を避けながら実装するために、どのような特定の共鳴条件とレーザーパルスシーケンスが必要か？
• RQ3 トラップ原子を用いたキャビティQEDの設定において、ラビ振動を体系的に用いて任意の単一量子ビットおよび制御ゲートを生成する方法は何か？
• RQ4 このゲート構築を一般のn量子ビット量子回路に拡張可能にする数学的構造は何か？

主な発見

• 3量子ビット用の制御された制御されたNOTゲートは、3つの制御NOT操作のシーケンスとして、共鳴に合わせたレーザーパルスとラビ振動を用いて成功裏に構築された。
• 本手法は、ヒューリスティックな仮定を避ける完全で非ヒューリスティックな数学的フレームワークを提供し、先行研究で見られる不備を解消した。
• 回転波近似と共鳴条件の一貫した適用により、量子状態の正確な時間発展が保証された。
• 各量子ビットについて明示的なユニタリ時間発展演算子が導出され、ゲートが単一原子のユニタリ操作とエンタングルメント相互作用の積として実装可能であることが示された。
• 本構築は原則的にスケーラブルであり、同様の共鳴に基づくパルスシーケンスを用いて一般の量子回路への拡張が可能であると提案されたフレームワークが提示された。
• ウォルシュ＝ハダマードゲートが明示的に構築され、本手法が標準的量子ゲートを生成可能であることを示す実証例としての役割を果たした。