[論文レビュー] Cayley Configuration Spaces of 1-dof Tree-decomposable Linkages, Part II: Combinatorial Characterization of Complexity

Meera Sitharam, Menghan Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、1-dof木分解可能連結鎖におけるエンドポイント長の記述の代数的複雑さを測るケイリー複雑度が、基本非辺の選択に依存しないことを確立しており、これはグラフの内在的性質である。本稿は、自然な部分クラスにおいて、低ケイリー複雑度グラフを平面性によって有限かつアルゴリズム的に識別可能な特徴づけを提供する一方で、一般にはこのような有限な禁止マイナー特徴づけが不可能であることを示している。

ABSTRACT

We continue to study Cayley configuration spaces of 1-dof linkages in 2D begun in Part I of this paper, i.e. the set of attainable lengths for a non-edge. In Part II, we focus on the algebraic complexity of describing endpoints of the intervals in the set, i.e., the Cayley complexity. Specifically, We focus on Cayley configuration spaces of a natural class of 1-dof linkages, called 1-dof tree-decomposable linkages. The underlying graphs G satisfy the following: for some base non-edge f, G \cup f is quadratic-radically solvable (QRS), meaning that G \cup f is minimally rigid, and given lengths \bar{l} of all edges, the corresponding linkage (G \cup f, \bar{l}) can be simply realized by ruler and compass starting from f. It is clear that the Cayley complexity only depends on the graph G and possibly the non-edge f. Here we ask whether the Cayley complexity depends on the choice of a base non-edge f. We answer this question in the negative, thereby showing that low Cayley complexity is a property of the graph G (independent of the non-edge f). Then, we give a simple characterization of graphs with low Cayley complexity, leading to an efficient algorithmic characterization, i.e. an efficient algorithm for recognizing such graphs. Next, we show a surprising result that (graph) planarity is equivalent to low Cayley complexity for a natural subclass of 1-dof triangle-decomposable graphs. While this is a finite forbidden minor graph characterization of low Cayley complexity, we provide counterexamples showing impossibility of such finite forbidden minor characterizations when the above subclass is enlarged.

研究の動機と目的

• 1-dof木分解可能連結鎖におけるケイリー複雑度が、基本非辺の選択に依存するかどうかを特定すること。
• 低ケイリー複雑度のグラフに対して、有限かつアルゴリズム的な特徴づけを提供すること。
• 低ケイリー複雑度が有限な禁止マイナー特徴づけをもつ可能性を調査すること。
• 1-dof木分解可能グラフの自然な部分クラスにおいて、平面性と低ケイリー複雑度の驚くべき同値性を確立すること。

提案手法

• ある基本非辺からの構成における極端なグラフが木分解可能であれば、他の任意の基本非辺に対しても同様に木分解可能であることを証明することで、ケイリー複雑度がグラフ不変であることを保証する。
• 構成段階の制約とレベル構造に基づいて、1-dof木分解可能グラフの低ケイリー複雑度の特徴づけを開発する。
• 禁止マイナー特徴づけを研究するために、2つの部分クラス（1パス型および三角形を含まないグラフ）を導入し、それらを分析する。
• 木分解可能な部分グラフの帰納的構成を用いて、任意のクリーク $K_m$ が低ケイリー複雑度グラフのマイナーとして現れることを示す。
• 禁止マイナー理論を適用して、1パス型および三角形を含まない部分クラスを除き、低ケイリー複雑度の有限な禁止マイナー特徴づけが不可能であることを示す。
• 構成段階の構造的制約および頂点の次数に基づいて、低ケイリー複雑度グラフを効率的に識別するアルゴリズムを設計する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1-dof木分解可能グラフのケイリー複雑度は、基本非辺の選択に依存するか？
• RQ2 低ケイリー複雑度は、有限個の禁止マイナーによって特徴づけられるか？
• RQ3 自然な1-dof木分解可能グラフの部分クラスにおいて、平面性と低ケイリー複雑度の構造的同値性は存在するか？
• RQ4 任意のクリーク $K_m$ が、低ケイリー複雑度のグラフのマイナーとして現れるか？
• RQ5 低ケイリー複雑度のグラフを識別するためのアルゴリズム的複雑度は何か？

主な発見

• ケイリー複雑度は、基本非辺の選択に依存しない。これはグラフそのものの性質であり、非辺に依存しない。
• 1-dof木分解可能グラフが低ケイリー複雑度であるための必要十分条件は、その構成におけるすべての極端なグラフが木分解可能であることである。
• 1パス型および三角形を含まない1-dof木分解可能グラフにおいて、低ケイリー複雑度はグラフの平面性と同値である。
• 任意の有限グラフ、特に任意のクリーク $K_m$ が、低ケイリー複雑度の1-dof木分解可能グラフのマイナーとして現れうる。
• 1-dof木分解可能グラフのより広いクラスでは、低ケイリー複雑度の有限な禁止マイナー特徴づけは不可能である。
• 構成段階の構造的制約および頂点の次数に基づいて、低ケイリー複雑度のグラフを効率的に識別するアルゴリズムが存在する。