[論文レビュー] Cayley graphs and symmetric interconnection networks

Ashwin Ganesan|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2017

Interconnection Networks and Systems参考文献 49被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、対称型相互接続ネットワークで用いられるカイリー図の自己同型群および耐障害性特性を調査する。エッジ推移的カイリー図、特にハイパーキューブおよび折りたたみハイパーキューブを含むものについて、生成行列の列に他の2つの列の和に等しい列がないことを示すことで、最小次数に等しい最良の頂点連結性を達成することを証明する。これにより、頂点障害に対して最大の耐性を示すことが保証される。

ABSTRACT

These lecture notes are on automorphism groups of Cayley graphs and their applications to optimal fault-tolerance of some interconnection networks. We first give an introduction to automorphisms of graphs and an introduction to Cayley graphs. We then discuss automorphism groups of Cayley graphs. We prove that the vertex-connectivity of edge-transitive graphs is maximum possible. We investigate the automorphism group and vertex-connectivity of some families of Cayley graphs that have been considered for interconnection networks; we focus on the hypercubes, folded hypercubes, Cayley graphs generated by transpositions, and Cayley graphs from linear codes. New questions and open problems are also discussed.

研究の動機と目的

• カイリー図の自己同型群を分析し、ネットワークの対称性および耐障害性における役割を明らかにする。
• カイリー図が最良の頂点連結性を達成する条件を確立する。これは、耐障害性の高い相互接続ネットワークにとって不可欠である。
• ハイパーキューブ、折りたたみハイパーキューブ、転置生成グラフ、および線形符号からのものなど、特定のカイリー図族の構造的性質を調査する。
• Z₂^r 上のカイリー図において最良の耐障害性を保証する生成行列に関する十分条件を同定する。
• 対称ネットワークトポロジーにおける自己同型群および連結性に関して、新たな未解決問題を提示する。

提案手法

• サビドゥッシの定理を用いて、頂点集合上の正則群作用を特徴づけることでカイリー図を定式化する。
• ウォーカスの原子的部品理論を適用し、エッジ推移的図が可能な限り最大の頂点連結性を持つことを証明する。
• 群作用およびグラフの対称性を用いて、すべてのカイリー図が頂点推移的であり、かつ正規カイリー図が正則自己同型部分群を有することを示す。
• F₂ 上の0-1行列によって生成されるカイリー図を分析し、生成集合Sが行列の列に対応することを示す。
• F₂^r において、ある列が他の2つの列の和に等しくないという条件を適用することで、カイリー図における最良の耐障害性を証明する。
• F₂ 上の線形代数を用いて、フルランク行列から生成されるカイリー図がハイパーキューブと同型であることを示し、パリティーチェック行列を用いて折りたたみハイパーキューブを特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カイリー図の頂点連結性が最小次数に等しくなる条件は何か。これは最良の耐障害性を示す。
• RQ2 カイリー図の自己同型群は、相互接続ネットワークの対称性および耐性にどのように影響を与えるか。
• RQ3 生成行列のどのような構造的性質が、結果として得られるカイリー図の最良の連結性を保証するか。
• RQ4 折りたたみハイパーキューブは線形符号からのカイリー図として特徴付けられるか。また、この構造から最良の耐障害性を継承するか。
• RQ5 線形符号から得られるカイリー図の新たな族として、最良の連結性と高い対称性を達成するものは存在するか。

主な発見

• エッジ推移的図、特に多くのカイリー図を含むものについては、頂点連結性が最大であり、最小次数に等しい。
• ハイパーキューブ $Q_n$ は、最良の耐障害性を示す。なぜなら、その生成行列（単位行列）は、$\mathbb{F}_2^r$ 内で他の2つの列の和に等しい列を含まないからである。
• 折りたたみハイパーキューブ $FQ_n$（$n \geq 4$）も、同様に最良の耐障害性を達成する。なぜなら、その生成行列（反復符号のパリティーチェック行列）も、同じ列の和の条件を満たしているからである。
• F₂ 上でフルランクの $r \times n$ 行列 $\mathcal{H}$ によって生成されるカイリー図は、$\mathcal{H}$ が単位行列である場合、$Q_r$ と同型である。
• 生成行列 $\mathcal{H}$ の列のいずれも、$\mathbb{F}_2^r$ 内で他の2つの列の和に等しくない場合、カイリー図 $\mathrm{Cay}(\mathbb{Z}_2^r, S)$ は最良の耐障害性を示す。
• 特に、フルランクでかつ列のいずれも他の2つの列の和に等しくないパリティーチェック行列を有する線形符号から生成されるカイリー図は、最良の連結性を示し、耐障害性の高いネットワーク設計の有力候補である。