[論文レビュー] Cayley transform applied to non-interacting quantum transport

Horia D. Cornean, Hagen Neidhardt+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、非相互作用量子輸送における非有界、非自己随伴、非下界の作用素を扱うために、Landauer-Büttiker形式主義を拡張する。純粋な点スペクトルおよび特異的連続スペクトル部分空間が定常状態電流に寄与しないことを証明し、擬相対性のリードと散乱的境界条件、または点相互作用を伴うディラック作用素を有する系における明示的な電流式を導出する。

ABSTRACT

We extend the Landauer-Büttiker formalism in order to accommodate both unitary and self-adjoint operators which are not bounded from below. We also prove that the pure point and singular continuous subspaces of the decoupled Hamiltonian do not contribute to the steady current. One of the physical applications is a stationary charge current formula for a system with four pseudo-relativistic semi-infinite leads and with an inner sample which is described by a Schrödinger operator defined on a bounded interval with dissipative boundary conditions. Another application is a current formula for electrons described by a one dimensional Dirac operator; here the system consists of two semi-infinite leads coupled through a point interaction at zero.

研究の動機と目的

• 下界がないユニタリ作用素および自己随伴作用素を扱えるようにLandauer-Büttiker形式主義を一般化すること。
• 非相互作用量子系における定常状態電流を決定づけるスペクトル部分空間（純粋な点スペクトルおよび特異的連続スペクトル）の役割を明確にすること。
• 散乱的境界条件を満たす有界なサンプルと接続された4本の擬相対性の半無限リードを有する系における明示的な電荷電流式を導出すること。
• 原点に点相互作用を有する1次元ディラック作用素で記述される電子に対する電流式を構築すること。

提案手法

• 非有界自己随伴作用素を有界ユニタリ作用素に写像するためのCayley変換を適応し、拡張形式主義におけるスペクトル解析を可能にする。
• 4本の半無限リードと、散乱的境界条件に従う有界区間のサンプルを有する系に、拡張形式主義を適用する。
• Cayley変換によって生成されるユニタリ時間発展を用いて、相互作用のない状況における散乱振幅および電流作用素を計算する。
• Landauer-Büttikerアプローチを用いて電流式を導出し、定常電流を散乱行列からの透過振幅で表す。
• 原点に点相互作用を有する1次元ディラック作用素モデルを検討し、同じ形式主義を用いて電流を計算する。
• 純粋な点スペクトルおよび特異的連続スペクトル部分空間からの寄与が定常電流において消えることを、スペクトル分解およびトレースクラスの議論に依拠して証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Landauer-Büttiker形式主義を、下界がない作用素に対しても適用可能にするにはどうすればよいか？
• RQ2 非相互作用量子輸送における、分離したハミルトニアンのどのスペクトル部分空間が定常状態電流に寄与するか？
• RQ3 散乱的境界条件を満たす有界なサンプルと4本の擬相対性リードを有する系における電荷電流の明示的表現は何か？
• RQ4 原点に点相互作用を有する1次元ディラックモデルでは、電流はどのように振る舞うか？
• RQ5 Cayley変換を用いることで、非有界ハミルトニアンを有する系における散乱および電流を厳密に取り扱えるか？

主な発見

• 分離したハミルトニアンの純粋な点スペクトルおよび特異的連続スペクトル部分空間は、定常状態電流に寄与しない。
• 4本の擬相対性リードと散乱的境界条件を満たす有界なサンプルを有する系における電流式は、拡張形式主義を用いて導出された。
• 原点に点相互作用を有する1次元ディラックモデルでは、一般化されたLandauer-Büttikerアプローチを用いて定常電流が明示的に計算された。
• Cayley変換により、非有界で下界がない作用素を有する量子輸送系において、一貫した取り扱いが可能となり、それらが有界ユニタリ作用素に変換される。
• スペクトル性質を適切に分析すれば、非自己随伴ハミルトニアンを有する系に対しても形式主義は有効である。
• 純粋な点スペクトルおよび特異的連続スペクトルからの電流寄与が、スペクトル分解およびトレースクラスの考察により厳密に確立された。