[論文レビュー] Cdh Descent in Equivariant Homotopy $K$-Theory

Marc Hoyois|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、分岐的線形代数的群の分類空間の幾何的モデルを構成することで、等精度的モチーフホモトピー理論の文脈において、ホモトピーK理論のcdh降下を確立する。E∞-環として構築された等精度的モチーフK理論スペクトラムが、任意の基底変換においてcdh降下およびホモトピー不変性を満たすことを証明し、Cisinskiのcdh降下結果を、準コンpactで分離された基底スキーム上の線形的再帰的群による商スタックへ拡張する。

ABSTRACT

We construct geometric models for classifying spaces of linear algebraic groups in G-equivariant motivic homotopy theory, where G is a tame group scheme. As a consequence, we show that the equivariant motivic spectrum representing the homotopy K-theory of G-schemes (which we construct as an E-infinity-ring) is stable under arbitrary base change, and we deduce that homotopy K-theory of G-schemes satisfies cdh descent.

研究の動機と目的

• ホモトピーK理論のcdh降下をスキームから線形的再帰的代数群による商スタックへ拡張すること。
• 正則スタック上でK理論と一致する、良好に定義されたホモトピーK理論スペクトラムKHを、分岐的アーチンスタックに対して定義すること。
• KHがcdh層であり、等精度的設定において強いホモトピー不変性およびボット周期性を満たすことを確立すること。
• 等精度的モチーフホモトピー設定における線形代数的群の分類空間の幾何的モデルを構築すること。
• 得られるK理論スペクトラムが任意の基底変換に対して安定であり、等精度的K理論における降下結果を可能にすること。

提案手法

• 等精度的設定におけるMorelとVoevodskyの方法の一般化を用いて、分岐的群スキームの等精度的分類空間の幾何的モデルを構成する。
• Nisnevich局所的に分解可能なベクトルバンドル torsor を持つスタック X に対して、KB(Δ• × X) の幾何的実現として KH を定義し、ボット周期性と整合性を保証する。
• 安定な等精度的モチーフホモトピー論を用いて、滑らかでN-準射影的 X-スタックに対して、SH(X) 内の E∞-環スペクトラム KGLX として KH を表現する。
• E∞-空間のモチーフ同値を用いて、N-準射影的射を通じた {KGLX}X∈tqStkB の基底変換の整合性を証明する。
• 群完備化とZariski層化技術を活用して、N-準射影的写像に沿った KGLX の引き戻しが同値であることを示す。
• 右カルン拡張を用いて、部分圏から全2-圏 tqStkB へ構成を拡張し、グローバルなコカーティジアン構造を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G が分岐的線形代数的群であるとき、ホモトピーK理論は商スタック [X/G] に対してcdh降下を満たすか？
• RQ2 等精度的モチーフホモトピー圏において、cdh降下をサポートする、BG の幾何的モデルを構成できるか？
• RQ3 このようなスタックに対して、等精度的モチーフK理論スペクトラム KH(X) は、ホモトピー不変性およびボット周期性を満たす E∞-環スペクトラムとして表現可能か？
• RQ4 スタックの族 {KGLX} に対して、基底変換の性質が成り立つか？
• RQ5 幾何的実現を用いて、有限または対角化可能群作用を持つスタックへ、cdh降下結果を拡張できるか？

主な発見

• ホモトピーK理論スペクトラム KH は、分岐的商スタックの2-圏 tqStkB 上の E∞-環スペクトラムとして構成され、cdh降下を満たす。
• 正則スタック X に対して、写像 K(X) → KH(X) は同値であり、古典的K理論と整合性を保つ。
• KH は強いホモトピー不変性を満たす：任意のベクトルバンドルの下でのfpqc torsor p: Y → X に対して、引き戻し p∗: KH(X) → KH(Y) は同値である。
• ボット周期性が成り立つ：任意の X 上のベクトルバンドル V に対して、KH(X)-加群同値 KH(V) ≃ KH(X) が自然に存在する。
• G が有限またはNisnevich局所的に対角化可能であるスタック X = [X/G] に対して、KH(X) は KB(Δ• × X) として幾何的に実現され、Weibelの定義が一般化される。
• 写像 X ↦ KGLX は、N-準射影的射を通じた CAlg(SH(−)) 上のコカーティジアンセクションをなすため、KH は tqStkB 上のcdh層である。