[論文レビュー] Cech Closure Spaces: A Framework for Discrete Homotopy

Antonio Rieser|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2017

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、チェハの閉包作用素を用いて、閉包空間に対する新しいホモトピー論を提示する。これにより、距離空間、グラフ、単体複体における離散的ホモトピーが可能になる。Seifert-van Kampenの定理、インターリーブ距離を用いた恒続的ホモトピー、および適切な閉包構造のもとで、円形グラフ間の連続写像が基本群に同型写像を誘導することを示す。

ABSTRACT

Motivated by constructions in topological data analysis and algebraic combinatorics, we study homotopy theory on the category of closure spaces, the category whose objects are sets endowed with a Cech closure operator and whose morphisms are the continuous maps between them. We introduce new classes of closure structures on metric spaces, graphs, and simplicial complexes, and we show how each of these cases gives rise to an interesting homotopy theory. In particular, we show that there exists a natural family of closure structures on metric spaces which produces a non-trivial homotopy theory for finite metric spaces, i.e. point clouds, the spaces of interest in topological data analysis. We then give a closure structure to graphs and simplicial complexes which may be used to construct a new combinatorial (as opposed to topological) homotopy theory for each skeleton of those spaces. We further show that there is a Seifert-van Kampen theorem for closure spaces, a well-defined notion of persistent homotopy and an associated interleaving distance. As an illustration of the difference with the topological setting, we calculate the fundamental group for the circle, 'circular graphs', and the wedge of circles endowed with different closure structures. Finally, we produce a continuous map from the topological circle to 'circular graphs' which induces an isomorphism on the fundamental groups, given appropriate closure structures.

研究の動機と目的

• 有限距離空間、グラフ、単体複体といった離散的構造のためのホモトピー論を、閉包作用素を用いて開発すること。
• トポロジカルデータ解析の中心的対象である有限点クラウドにおいて、非自明なホモトピー論が欠如している問題に取り組むこと。
• グラフや単体複体に閉包構造を定義することで、トポロジカル埋め込みに依存しない組合せ的ホモトピー論を提供すること。
• Seifert-van Kampenの定理のような基礎的定理を確立し、インターリーブ距離を用いた恒続的ホモトピーを定義すること。

提案手法

• 有限点クラウドに非自明なホモトピー論を導くために、距離空間にチェハの閉包作用素を定義すること。
• グラフや単体複体に閉包構造を導入し、トポロジカル埋め込みに依存しない組合せ的ホモトピー論を構築すること。
• 閉包空間のカテゴリーにおいて、基本群の計算をグルーピング構成を通じて行えるように、Seifert-van Kampenの定理を定式化すること。
• スケールを跨いで閉包構造を追跡することで恒続的ホモトピーを定義し、関連するインターリーブ距離を導入すること。
• 異なる閉包構造のもとでホモトピー群を比較するために、位相的円から円形グラフへの連続写像を用いること。
• 閉包構造を用いて、円、円形グラフ、および円のワッペンの基本群を計算し、閉包選択に依存する構造的依存性を明らかにすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉包作用素を用いて、有限距離空間に対して非自明なホモトピー論を定義できるか？
• RQ2 グラフや単体複体における閉包構造は、トポロジカルホモトピーとは異なる組合せ的ホモトピー論をどのように得られるか？
• RQ3 閉包空間のカテゴリーにおいて、Seifert-van Kampenの定理が成立するか？
• RQ4 閉包空間の枠組みにおいて、インターリーブ距離を用いた恒続的ホモトピーを厳密に定義できるか？
• RQ5 適切な閉包構造のもとで、位相的円から円形グラフへの連続写像が、基本群に同型写像を誘導できるか？

主な発見

• 距離空間に自然な閉包構造の族を定義することで、有限距離空間に非自明なホモトピー論が得られ、点クラウドの意味のあるホモトピー的解析が可能になる。
• グラフや単体複体における閉包構造は、トポロジカル埋め込みに依存しない明確に定義された組合せ的ホモトピー論を支える。
• 閉包空間に対してSeifert-van Kampenの定理が確立され、分解とグルーピングを用いた基本群の計算が可能になる。
• 閉包空間の枠組みにおいて恒続的ホモトピーが定義され、スケールを跨ぐ安定性を測る関連するインターリーブ距離が導入される。
• 円、円形グラフ、および円のワッペンの基本群は、選択された閉包構造に強く依存しており、構造的感度が示される。
• 適切な閉包構造が適用された場合、位相的円から円形グラフへの連続写像が、基本群に群同型写像を誘導する。