[論文レビュー] Cech cocycles for differential characteristic classes -- An infinity-Lie theoretic construction

Domenico Fiorenza, Urs Schreiber+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 45

ひとこと要約

本稿は、Čechコサイクルを用いた∞-Lie理論的構成により、微分的特徴類を、滑らかな∞-群の主∞-バンドルと接続の∞-群作用への写像として、コhomologyからコサイクル空間へと、二次的特徴類を精錬する。微分的特徴写像は、主∞-バンドルと接続の∞-群作用から、高次のU(1)-gerbeと接続の∞-群作用への写像を確立し、ホモトピー・ファイバーは、ねじれ付き微分的構造（ねじれ付き微分的ストリング構造や五次元膜構造）を記述する。

ABSTRACT

What are called secondary characteristic classes in Chern-Weil theory are a refinement of ordinary characteristic classes of principal bundles from cohomology to differential cohomology. We consider the problem of refining the construction of secondary characteristic classes from cohomology sets to cocycle spaces; and from Lie groups to higher connected covers of Lie groups by smooth infinity-groups, i.e., by smooth groupal A-infinity-spaces. Namely, we realize differential characteristic classes as morphisms from infinity-groupoids of smooth principal infinity-bundles with connections to infinity-groupoids of higher U(1)-gerbes with connections. This allows us to study the homotopy fibers of the differential characteristic maps thus obtained and to show how these describe differential obstruction problems. This applies in particular to the higher twisted differential spin structures called twisted differential string structures and twisted differential fivebrane structures.

研究の動機と目的

• チェーン＝ヴェイル理論における二次的特徴類を、コホモロジー集合からコサイクル空間へと精錬すること。
• リー群から高次連結被覆への構成を、滑らかな∞-群（滑らかな群的A∞-空間）を用いて拡張すること。
• 微分的特徴類を、主∞-バンドルと接続の∞-群作用と高次のU(1)-gerbeと接続の∞-群作用の間の写像として実現すること。
• これらの微分的特徴写像のホモトピー・ファイバーを、微分的障害問題として研究すること。
• この枠組みを、ヘテロティック弦理論および磁気的双対ヘテロティック弦理論におけるねじれ付き微分的ストリング構造や五次元膜構造といった高次ねじれ付き微分的構造に応用すること。

提案手法

• L∞-代数の∞-リー統合として滑らかな∞-群を定義し、滑らかな主∞-バンドルと接続の構成を可能にする。
• ∞-リー統合を用いた∞-チェーン＝ヴェイル同型写像により、∞-バンドルと接続を微分コホモロジー類へ写像する。
• L∞-代数のコサイクルを∞-群作用のバンドルとゲルベの間の写像へと上げることで、微分的特徴写像を構成する。
• Čech-de Rham複体を用いて、局所的および大域的 curvature 特徴類を表現する。
• 微分的特徴写像のホモトピー・ファイバーを、ねじれ付き微分的構造のモジュライ空間として特徴付ける。
• リー2代数上の標準的な3次および7次コサイクルにこの形式を適用し、ねじれ付き微分的ストリング構造および五次元膜構造を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チェーン＝ヴェイル理論における二次的特徴類を、コホモロジーからコサイクル空間へとどのように精錬できるか？
• RQ2 リー群の高次連結被覆に対する∞-Lie理論的構成による微分的特徴類とは何か？
• RQ3 微分的特徴写像のホモトピー・ファイバーは、どのようにねじれ付き微分的構造を符号化するか？
• RQ4 ∞-チェーン＝ヴェイル同型写像は、curvature 特徴類を微分コホモロジーへと上げる際に果たす役割は何か？
• RQ5 得られる構造は、ヘテロティック弦理論および磁気的双対ヘテロティック弦理論における異常キャンセレーション機構とどのように関係するか？

主な発見

• G-主∞-バンドルと接続の微分的特徴類は、そのようなバンドルの∞-群作用から、高次のU(1)-gerbeと接続の∞-群作用への写像として実現される。
• 単連結で単純なリー群Gのリー代数上の標準的3次コサイクルに対して、この構成により第一分数Pontryagin類がコサイクルレベルの写像へと精錬される。
• この写像のホモトピー・ファイバーは、滑らかなString(G)-主2バンドルと2接続の2群作用であり、ストリング構造の微分的精錬を提供する。
• 非自明なクラスへのホモトピー・ファイバーは、ヘテロティック弦理論におけるグリーン＝シュヴァルツ異常キャンセレーションを支配するねじれ付き微分的ストリング構造の2群作用である。
• ストリング-2群上の7次コサイクルにこの構成を適用すると、String-主2バンドルのための二次的特徴写像が得られ、第二分数Pontryagin類が精錬される。
• この写像のホモトリー・ファイバーは、Fivebrane 6群上の主6バンドルと6接続の6群作用であり、磁気的双対ヘテロティック弦理論におけるねじれ付き微分的五次元膜構造に対応する非自明なファイバーを有する。