[論文レビュー] Cech-De Rham theory for leaf spaces of foliations

Marius Crainic, Ieke Moerdijk|ArXiv.org|Dec 10, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、葉層の葉空間のコhomologyのためのCech-De Rhamモデルを導入し、従来のモデル（分類空間やホロノミー群ガロア）の代わりに、幾何的で非ハウスドルフ的構造に依存しない代替手法を提供する。特徴的類を葉空間上で明示的な幾何的技法を用いて直接構成することで、葉空間コホモロジーのレベルでボットの消滅定理とポincare双対性を確立し、普遍的特徴的類やルエル＝サリバン・カレントへの応用を含む。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to present a ``Cech-De Rham'' model for the cohomology of leaf spaces. This model lends itself to the construction of characteristic classes (in the cohomology of classifying spaces) by explicit geometrical constructions which are immediate extensions of the standard constructions for manifolds. In particular we rediscover (and explain) the Thurston formula and the Bott formulas for cocycles on diffeomorphism groups. We also use the Cech-De Rham model to explicitly describe the relation between the cohomology of the classifying space, the basic cohomology, and the foliated cohomology of foliations.

研究の動機と目的

• 従来のモデル（非ハウスドルフ的構造、分類空間における滑らかさの喪失など）の制限を克服すること。
• 葉空間 $M/\mathcal{F}$ のコホモロジーにおいて、$H^*(M)$ ではなく直接的な幾何的構成により特徴的類を構成すること。
• 新しいCech-De Rhamモデルを用いて、葉空間コホモロジーのレベルでポincare双対性とボットの消滅定理を確立すること。
• スペクトル系列とヴァンエステ型写像を用いて、新規コホモロジー理論を基本コホモロジー、葉層コホモロジー、ホロノミー群ガロアのコホモロジーと関連付けること。
• ハイフレィガー群ガロアを用いた幾何的実現により、ユニバーサル特徴的類を明示的に構成し、サーストンやボットの公式を回復すること。

提案手法

• 本稿は、葉空間上のコチェーンを定義するための横断的基底 $\mathcal{U}$ を用いて、Cech-De Rham二重複体を構成する。
• ホロノミー群ガロアや分類空間に依存しない、Cech-De Rham複体の全コホモロジーを用いて $H^*(M/\mathcal{F})$ というコホモロジー理論を定義する。
• 葉層コホモロジーへの関連づけに、写像 $\Phi: H^s(M/\mathcal{F}; \Omega^t_{\text{bas}}) \to H^s(\mathcal{F}; \Lambda^t \nu)$ を用いるヴァンエステ写像を定義する。
• 葉に沿った積分は、写像 $\int_{\mathcal{F}}: H^p_c(\mathcal{F}) \to H^{p-q}_c(M/\mathcal{F}; \Omega^0_{\text{bas}})$ を通じて定義され、ヴァンエステ写像の双対として関連づけられる。
• スペクトル系列を用いてCech-De Rhamモデルと基本コホモロジー、葉層コホモロジーとの関係を調べ、$E^{s,t}_1 = H^s(M/\mathcal{F}; \Omega^t_{\text{bas}})$ が $H^{s+t}(M/\mathcal{F})$ に収束することを示す。
• エタール群ガロアの技法を用いて、このモデルがホロノミー群ガロアのコホモロジーと擬似同型であることを示し、既存のモデルと同等であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ハウスドルフ的構造に依存しない、幾何的で直接的な葉空間コホモロジー理論を構築できるか？ その理論が特徴的類の直接的構成を可能にするか？
• RQ2 Cech-De Rhamモデルが、葉空間コホモロジーのレベルでボットの消滅定理やポincare双対性といった既知の結果を回復できるか？
• RQ3 スペクトル系列と自然写像を通じて、葉空間コホモロジー、基本コホモロジー、葉層コホモロジーの関係はいかなるものか？
• RQ4 ハイフレイガー群ガロアのユニバーサル特徴的類が、このモデルを用いて幾何的に明示的に構成可能か？
• RQ5 葉に沿った積分と横断的測度は、ルエル＝サリバン・カレントを実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• Cech-De Rhamモデルは、幾何的で非ハウスドルフ的問題を回避し、特徴的類の直接的構成を可能にする、葉空間 $M/\mathcal{F}$ に対するコホモロジー理論を提供する。
• ホロノミーの被覆が $k$-連結であるとき、ヴァンエステ写像 $\Phi$ は $H^s(M/\mathcal{F}; \Omega^t_{\text{bas}})$ と $H^s(\mathcal{F}; \Lambda^t \nu)$ の間に $s \leq k$ の次数で同型を誘導する。
• 葉に沿った積分写像 $\int_{\mathcal{F}}$ はヴァンエステ写像の双対であり、$M$ 上の次数 $p$ のカレントとしてルエル＝サリバン・カレントの幾何的実現を提供する。
• コンパクト台付きCech-De Rhamコホモロジーは、標準コホモロジーと双対性を満たし、これは[10]のポincare双対性を、多様体における標準的議論の自然な拡張として回復する。
• 本モデルはハイフレイガー群ガロアを用いたユニバーサル特徴的類の幾何的構成を提供することで、サーストンとボットのコサイクルの公式を回復する。
• 本モデルにより、$(M, \mathcal{F})$ 上の横断的主バンドルの特徴的類が $H^*(M)$ から $H^*(M/\mathcal{F})$ に持ち上がることを示し、すべての標準的関係が保存されることを確認した。