[論文レビュー] CECM: A continuous empirical cubature method with application to the dimensional hyperreduction of parameterized finite element models

J.A. Hernández, J.R. Bravo+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2023

Model Reduction and Neural NetworksPhysics and Astronomy被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、パラメータ化されたベクトル値関数の積分に最小で正の重みを持つコルテージルールを構築するための2段階アルゴリズムである連続的経験的コルテージ法（CECM）を紹介する。初期点選択と、点の位置と重みを最適化する反復的スパース化を組み合わせることで、従来の手法よりもはるかに少ない点数で高精度な積分を達成する。多項式および指数三角関数型関数において最適な性能を示し、ハイパーレダクションされた有限要素モデルにおいて顕著な計算上の利点を示している。

ABSTRACT

We present the Continuous Empirical Cubature Method (CECM), a novel algorithm for empirically devising efficient integration rules. The CECM aims to improve existing cubature methods by producing rules that are close to the optimal, featuring far less points than the number of functions to integrate. The CECM consists on a two-stage strategy. First, a point selection strategy is applied for obtaining an initial approximation to the cubature rule, featuring as many points as functions to integrate. The second stage consists in a sparsification strategy in which, alongside the indexes and corresponding weights, the spatial coordinates of the points are also considered as design variables. The positions of the initially selected points are changed to render their associated weights to zero, and in this way, the minimum number of points is achieved. Although originally conceived within the framework of hyper-reduced order models (HROMs), we present the method's formulation in terms of generic vector-valued functions, thereby accentuating its versatility across various problem domains. To demonstrate the extensive applicability of the method, we conduct numerical validations using univariate and multivariate Lagrange polynomials. In these cases, we show the method's capacity to retrieve the optimal Gaussian rule. We also asses the method for an arbitrary exponential-sinusoidal function in a 3D domain, and finally consider an example of the application of the method to the hyperreduction of a multiscale finite element model, showcasing notable computational performance gains. A secondary contribution of the current paper is the Sequential Randomized SVD (SRSVD) approach for computing the Singular Value Decomposition (SVD) in a column-partitioned format. The SRSVD is particularly advantageous when matrix sizes approach memory limitations.

研究の動機と目的

• パラメータ化されたベクトル値関数の積分を高精度に近似する、最小で正の重みを持つ新しいコルテージルールを構築するためのアルゴリズムを開発すること。
• ハイパーレジューセッド・オーダー・モデル（HROMs）において、点数を最小限に抑えつつ精度を維持し、安定性を確保するための正の重みを保証すること。
• 特にマルチスケールおよび非線形な状況下において、パラメータ化された有限要素問題の低次元モデル化における効率的な積分を可能にすること。
• 特にメモリ制約下で有効である、列分割形式でのトレuncated SVD を計算するための新しい確率的SVD（SRSVD）を導入すること。
• 多様なテストケース、すなわち単変数および多変数多項式、任意の3次元関数、および複雑なマルチスケール有限要素モデルを含む、本手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• CECMは2段階戦略を採用する：まず、積分する関数の数と等しい点数を持つ初期コルテージルールを、点選択法を用いて構築する。
• 2段階目では、点の空間的座標、重み、およびインデックスを設計変数として扱い、反復的に点を再配置することで、重みをゼロに近づけ、有効な点数を最小化する。
• 本手法は、点の位置と重みを同時に最適化する非線形最適化フレームワークを用い、最小で正の重みを持つコルテージルールを達成する。
• 本手法は一般にベクトル値関数に適用可能であり、HROMsに限らず、四則演算や数値積分の文脈にも応用可能である。
• 大規模な行列に対するメモリ効率の良い計算を可能にするために、列分割形式でのトレuncated SVD を計算するための新規な逐次的確率的SVD（SRSVD）を提案する。
• SRSVDは、適応的ランク増加と再正規直交化を用いたインクリメンタル確率的直交化を採用し、数値的精度を維持するとともに、行列サイズに比例する線形スケーリングを達成する。

Figure 1: Location of the points and magnitude of the weights of the integration rules for polynomial of order $P=5$ in $\Omega{}=[-1,1]$ provided by the: a) Linear programming-based strategy (LP); b) Discrete Empirical Cubature Method (DECM); c) Non-negative least-squares (NNLS). d) Normalized iter

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ化されたベクトル値関数に対して、最小で正の重みを持つ積分ルールを生成できる連続的経験的コルテージ法を開発できるか？
• RQ2 多項式被積分関数に対して、CECM法は最適なガウス四則演算ルールと比較して、精度と点数の両面で優れているか？
• RQ3 CECMは、精度と安定性を維持しつつ、ハイパーレジューセッド有限要素モデルの計算コストを著しく低減できるか？
• RQ4 大規模で列分割された行列に対するトレuncated SVD の計算において、提案されたSRSVD法の速度とメモリ効率はいかがな性能を示すか？
• RQ5 SRSVD法は、行列サイズに比例してスケーリングされつつ、標準SVDと同等の数値的精度を維持できるか？

主な発見

• CECMは、1変数および多変数ラグランジュ多項式に対して、理論的に最適なガウスコルテージルールを正確に再構成でき、理論的最適性を達成できることを示した。
• 3次元の指数三角関数型関数に対しては、標準ガウス四則演算よりもはるかに少ない点数で高精度な積分を達成し、任意関数に対するロバストネスを確認した。
• マルチスケール有限要素モデルにおいて、CECMは完全なガウス四則演算と比較して、積分点数を90％以上削減し、顕著な計算高速化を実現した。
• 16 GBの行列に対して、SRSVD法は標準SVDと比較して約7倍速く、標準SVDがメモリ制限で失敗した33 GBの行列に対しても正常に処理できた。
• SRSVD法は、列数に比例してほぼ線形にスケーリングされ、大規模問題への効率性を確認した。また、標準SVDと比較して特異値の相対差が無視できるほど小さかった。
• SRSVDの反復回数は、行列の分割数が増加するにつれて1に収束した。これは、各ブロックのランクが、次のブロックの直交補空間のランクの信頼できる上界を提供していることを示している。