[論文レビュー] Cell Complexes for Arrangements with Group Actions

Dana C. Ernst|ArXiv.org|May 27, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、実向き付き超平面配置のSalvetti複体が、その複素化された配置の補集合とホモトピー同値であることを確立し、さらにこのホモトピー同値性が関連する反映群の作用のもとでも保たれることを示した。主な貢献は、2次元の反射配置に対して、双対複体から軌道複体を構成する手法の開発であり、これにより、ラベルなし配置空間の基本群の位相的モデルが得られ、セル複体技術を用いてブraid関係式が導出された。

ABSTRACT

For a real oriented hyperplane arrangement, we show that the corresponding Salvetti complex is homotopy equivalent to the complement of the complexified arrangement. This result was originally proved by M. Salvetti. Our proof follows the framework of a proof given by L. Paris and relies heavily on the notation of oriented matroids. We also show that homotopy equivalence is preserved when we quotient by the action of the corresponding reflection group. In particular, the Salvetti complex of the braid arrangement in $\ell$ dimensions modulo the action of the symmetric group is a cell complex which is homotopy equivalent to the space of unlabelled configurations of $\ell$ distinct points. Lastly, we describe a construction of the orbit complex from the dual complex for all finite reflection arrangements in dimension 2. This description yields an easy derivation of the so-called "braid relations" in the case of braid arrangement.

研究の動機と目的

• 実向き付き超平面配置のSalvetti複体とその複素化された配置の補集合との間のホモトピー同値性を確立すること。
• この同値性を、特にブraid配置に対して、有限反射群の作用を含む配置へと拡張すること。
• 2次元において、双対複体から軌道複体を構成し、ラベルなし配置空間の基本群の幾何的モデルを提供すること。
• セル複体および向き付きマトロイドの技術を用いて、軌道複体の基本群におけるブraid関係式を導出すること。

提案手法

• Salvetti複体の面の順序集合とセル構造を記述するために、向き付きマトロイドの枠組みを用いる。
• 正則セル複体とその面の順序集合の概念を適用し、配置の補集合の位相をモデル化する。
• 反射群の作用の下でSalvetti複体を商した形で軌道複体を構成し、配置の双対複体を用いる。
• 2次元配置では、軌道複体が1つの頂点と1つの高次元セルからなり、群作用によって誘導される辺の同定が生じることを示す。
• 双対複体を用いて軌道複体をモデル化し、頂点が部屋に対応し、辺がcodimension-1の面に対応する。
• セル構造と軌道複体上の群作用の結果として、ブraid関係式 $aba = bab$ が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Salvetti複体は、複素化された超平面配置の補集合のホモトピー型をどのようにモデル化できるか？
• RQ2 Salvetti複体を有限反射群で商したとき、軌道複体の位相的構造はどのようなものか？
• RQ3 2次元反射配置の双対複体は、ラベルなし配置空間の基本群をどのように符号化するか？
• RQ4 軌道複体のセル構造と基本群におけるブraid関係式の関係は何か？
• RQ5 双対複体の組合せ論と群作用から直接的にブraid関係式を導出できるか？

主な発見

• 実向き付き超平面配置のSalvetti複体は、その複素化された配置の補集合とホモトピー同値である。
• このホモトピー同値性は、関連する反射群の作用のもとでも保たれるため、軌道複体はラベルなし配置空間とホモトピー同値である。
• $\ell$次元におけるブraid配置について、対称群 $S_\ell$ による軌道複体 $|\operatorname{Sal}(\mathcal{A}_2)|/S_\ell$ は、$\ell$個の異なる点のラベルなし配置空間とホモトピー同値なセル複体である。
• 軌道複体 $|\operatorname{Sal}(\mathcal{A}_2)|/S_3$ は1つの頂点と1つの2セルを持ち、辺の同定がブraid関係式 $aba = bab$ を生じる。
• 軌道複体の基本群は、反射に対応する生成元と、$m_{ij}$個の因子を持つ関係式 $g_i g_j \cdots = g_j g_i \cdots$ を持つ表示を持ち、これはブraid群の表示と一致する。
• 2次元反射配置の双対複体 $D(\mathcal{A})$ は、Salvetti複体における同一視されたセルのペアに対応する辺を持つ軌道複体の幾何的実現を提供する。