[論文レビュー] Cell-probe bounds for online edit distance and other pattern matching problems

Raphaël Clifford, Markus Jalsenius+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2015

Algorithms and Data Compression参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、編集距離、ハミング距離、畳み込み、最長共通部分列を含むオンラインパターンマッチング問題に対する、画期的な符号化方式と巧みに設計された入力分布を用いて、最初の非自明なセルプローブ下界を確立した。ハミング距離および畳み込みに対しては、Ω(δ log n / (w + log log n)) の下界を証明し、オンライン編集距離およびLCSに対しては、ビットプローブモデルで Ω(√(log n)/(log log n)^{3/2}) の下界を示した。一方で、編集距離に対しては O((log²n)/w) の上界を示し、セルプローブとRAMの複雑さの間に顕著なギャップが存在することが明らかになった。

ABSTRACT

We give cell-probe bounds for the computation of edit distance, Hamming distance, convolution and longest common subsequence in a stream. In this model, a fixed string of n symbols is given and one δ-bit symbol arrives at a time in a stream. After each symbol arrives, the distance between the fixed string and a suffix of most recent symbols of the stream is reported. The cell-probe model is perhaps the strongest model of computation for showing data structure lower bounds, subsuming in particular the popular word-RAM model.• We first give an Ω((δ log n)/(w+log log n)) lower bound for the time to give each output for both online Hamming distance and convolution, where w is the word size. This bound relies on a new encoding scheme and for the first time holds even when w is as small as a single bit.• We then consider the online edit distance and longest common subsequence problems in the bit-probe model (w = 1) with a constant sized input alphabet. We give a lower bound of Ω([EQUATION]log n/(log log n)3/2) which applies for both problems. This second set of results relies both on our new encoding scheme as well as a carefully constructed hard input distribution.• Finally, for the online edit distance problem we show that there is an O((log2n)/w) upper bound in the cell-probe model. This bound gives a contrast to our new lower bound and also establishes an exponential gap between the known cell-probe and RAM model complexities.

研究の動機と目的

• データ構造の下界を示すために最も強力とされているセルプローブモデルにおいて、オンラインパターンマッチング問題に対する強力な計算下界を確立すること。
• 入力の逐次的記号の到着を伴うオンラインストリーミング設定において、編集距離、ハミング距離、畳み込み、最長共通部分列の計算時間複雑度を分析すること。
• 単位ビット（w = 1）の最小ワードサイズでさえも非自明な下界が得られるようにする、新しい符号化方式を開発すること。
• ビットプローブモデル（w = 1）におけるオンライン編集距離およびLCS問題の困難性を高めるために、巧みに設計されたハードな入力分布を構築すること。
• セルプローブ下界を既知のRAMモデルにおける上界と比較し、複雑さの顕著なギャップを明らかにすること。

提案手法

• セルプローブモデルで最小ワードサイズ（w = 1）でも下界を導出可能となる、画期的な符号化方式を導入した。
• この符号化方式を適用し、オンラインハミング距離および畳み込みに対して、Ω(δ log n / (w + log log n)) の下界を導出した。ここで δ は記号サイズ、w はワードサイズである。
• 符号化技術を、巧みに設計されたハードな入力分布と組み合わせることで、ビットプローブモデル（w = 1）におけるオンライン編集距離および最長共通部分列に対して、Ω(√(log n)/(log log n)^{3/2}) の下界を証明した。
• セルプローブモデルを用いて、オンライン編集距離に対して O((log²n)/w) の上界を証明し、このモデルにおけるタイトな上界を示した。
• 導出された下界と上界を比較することで、セルプローブモデルとRAMモデルの複雑さの間に、超多項式ギャップが存在することを明らかにした。
• 情報理論的および組合せ論的議論を用いて、最小限の仮定のもとでオンラインパターンマッチングの困難さを確立した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 セルプローブモデルにおけるオンラインハミング距離および畳み込みの計算に要する最小時間は何か？ これは入力サイズおよびワードサイズにどのように依存するか？
• RQ2 定数アルファベットを想定するビットプローブモデル（w = 1）において、オンライン編集距離および最長共通部分列に対して非自明な下界を確立できるか？
• RQ3 新しい符号化方式は、特にワードサイズ w が小さい場合に、セルプローブモデルにおける下界の証明にどのように寄与するか？
• RQ4 オンライン編集距離について、セルプローブ複雑さとRAMモデル複雑さの関係は何か？
• RQ5 ビットプローブモデルにおけるオンライン編集距離およびLCSの困難性を高めるために、ハードな入力分布を構築できるか？

主な発見

• セルプローブモデルにおけるオンラインハミング距離および畳み込みに対して、Ω(δ log n / (w + log log n)) の下界が確立され、w = 1 であっても成立する。
• 定数アルファベットを想定するビットプローブモデル（w = 1）におけるオンライン編集距離および最長共通部分列に対して、Ω(√(log n)/(log log n)^{3/2}) の下界が証明された。
• 新規の符号化方式により、最小ワードサイズであってもセルプローブモデルで非自明な下界を導出可能となり、技術的進展として顕著である。
• セルプローブモデルにおけるオンライン編集距離に対して、O((log²n)/w) の上界が示された。これにより、下界と対照的に、超多項式ギャップが明らかになった。
• 結果として、オンライン編集距離について、既知のセルプローブモデルとRAMモデルの複雑さの間に指数的ギャップが存在することが示され、RAMモデルが真の困難さを捉えるのに限界をもつことが浮き彫りになった。
• 符号化方式とハードな入力分布の組み合わせにより、ビットプローブモデルにおけるLCSおよび編集距離の最初の非自明な下界が達成された。