[論文レビュー] Cell structures for the Yokonuma-Hecke algebra and the algebra of braids and ties

Jorge Espinoza, Steen Ryom-Hansen|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、Yokonuma-Hecke代数 $\mathcal{Y}_{r,n}$ に対して忠実なテンソル空間表現を構成し、Shojiの修正された Ariki-Koike 代数 $\mathcal{H}_{r,n}$ との明示的な同型を確立し、バングルとタイの代数 $\mathcal{E}_n$ のためのセルラーベースを提供する。主な貢献は、テンソル空間実現を用いた同型 $\mathcal{Y}_{r,n} \cong \mathcal{H}_{r,n}$ の新しい証明と、$\mathcal{E}_n$ がセルラーシンプル代数であることを確認するセルラーモデルであり、これは Marin の一般パrameterに関する分解に関する未解決の問いに答えている。

ABSTRACT

We construct a faithful tensor representation for the Yokonuma-Hecke algebra Y, and use it to give a concrete isomorphism between Y and Shoji's modified Ariki-Koike algebra. We give a cellular basis for Y and show that the Jucys-Murphy elements for Y are JM-elements in the abstract sense. Finally, we construct a cellular basis for the Aicardi-Juyumaya algebra of braids and ties.

研究の動機と目的

• Yokonuma-Hecke代数 $\mathcal{Y}_{r,n}$ に対して $V^{\otimes n}$ を用いた忠実なテンソル空間表現を構築すること。
• $\mathcal{Y}_{r,n}$ と Shoji の修正された Ariki-Koike 代数 $\mathcal{H}_{r,n}$ の間の明示的な同型を、$V^{\otimes n}$ 上の作用を通じて構成すること。
• $\mathcal{Y}_{r,n}$ がセルラーシンプル代数であることを、Murphy の基底を一般化した明示的なセルラーベースの構成により証明すること。
• $\mathcal{E}_n$ のセルラーフレームワークを拡張し、そのセルラーシンプル性を確認するとともに、一般パrameterにおける分解に関する Marin の問いに答えること。

提案手法

• $\mathcal{E}_n$-モジュール構造の一般化を用いて、$\mathcal{Y}_{r,n}$ の $V^{\otimes n}$ 上への忠実な作用を構成すること。
• $\mathrm{End}(V^{\otimes n})$ 内での $\mathcal{Y}_{r,n}$ と $\mathcal{H}_{r,n}$ の像を同定し、Vandermonde 行列式を用いて同型 $\mathcal{Y}_{r,n} \cong \mathcal{H}_{r,n}$ を証明すること。
• 標準的マルチテーブレオと組合せ的インデックス系を用いて、$\mathcal{Y}_{r,n}$ のセルラーベースを定義し、Iwahori-Hecke 代数の Murphy の基底を一般化すること。
• $\mathcal{Y}_{r,n}$ 内の Jucys-Murphy 要素が、抽象的セルラーシンプル代数における JM-要素の公理を満たすことを示すこと。
• $r \geq n$ の場合に、$\mathcal{Y}_{r,n}$ の部分代数として $\mathcal{E}_n$ のセルラーベースを同じフレームワークを用いて構成すること。
• $\Psi_\alpha: \mathcal{Y}_{r,n} \to \mathrm{Mat}_{b_n(\alpha)}(\mathcal{H}^{\mathrm{wr}}_\alpha(q))$ が代数同型であることを証明し、$\mathcal{E}_n$ がワイヤード積代数上の行列代数としての構造を確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Yokonuma-Hecke代数 $\mathcal{Y}_{r,n}$ と Shoji の修正された Ariki-Koike 代数 $\mathcal{H}_{r,n}$ の間に明示的な同型が存在するか？
• RQ2 $\mathcal{Y}_{r,n}$ に対して明示的なセルラーベースを構成できるか。また、その基底は部分代数構造と Jucys-Murphy 要素を尊重するか？
• RQ3 Aicardi-Juyumaya 代数 $\mathcal{E}_n$ はセルラーシンプル代数であるか。一般パrameterにおいて、それがワイヤード積代数上の行列代数の和に分解するか？
• RQ4 テンソル空間 $V^{\otimes n}$ は $\mathcal{Y}_{r,n}$ の忠実な表現を提供するか。また、$\mathrm{End}(V^{\otimes n})$ の部分代数として $\mathcal{Y}_{r,n}$ と $\mathcal{H}_{r,n}$ の両方を実現できるか？
• RQ5 $\mathcal{Y}_{r,n}$ に対して Lusztig や Jacon-Poulain d’Andecy の定理に類似した行列代数同型を用いて $\mathcal{E}_n$ の構造を記述できるか？

主な発見

• $\mathcal{Y}_{r,n}$ に対して $V^{\otimes n}$ 上に忠実なテンソル空間表現が構成され、$\mathcal{E}_n$-モジュール構造の一般化がなされた。
• $\mathcal{Y}_{r,n}$ と $\mathcal{H}_{r,n}$ は、共通の $\mathrm{End}(V^{\otimes n})$ 内の像を通じて同型であることが示され、同型定理の新しい証明が得られた。
• 標準的マルチテーブレオを用いた明示的なセルラーベースが $\mathcal{Y}_{r,n}$ に対して構成され、Iwahori-Hecke 代数の Murphy の基底が一般化された。
• $\mathcal{Y}_{r,n}$ 内の Jucys-Murphy 要素が、抽象的セルラーシンプル代数における JM-要素の公理を満たすことが示された。
• Aicardi-Juyumaya 代数 $\mathcal{E}_n$ がセルラーシンプル代数であることが証明され、それがワイヤード積代数上の行列代数として記述された。
• $\Psi_\alpha: \mathcal{Y}_{r,n} \to \mathrm{Mat}_{b_n(\alpha)}(\mathcal{H}^{\mathrm{wr}}_\alpha(q))$ が $S$-代数同型として確立され、Marin の一般パrameterにおける $\mathcal{E}_n$ の分解に関する問いが解決された。