[論文レビュー] Cellular automata on a $G$-set

Sébastein Moriceau|arXiv (Cornell University)|May 26, 2011

Cellular Automata and Applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、可換でない、双曲的、タイル張りに基づく構造を含む、非アーベル的で非可換な群作用を備えたG-集合への細胞オートマトンの一般化を提示する。群上の古典的枠組みを拡張し、G-集合上の細胞オートマトンの新しい形式的定式化を導入し、等変オートマトンに関してヘルドランドの定理の類似を証明した。また、一般の細胞オートマトンの合成が細胞オートマトンでない場合があるが、等変性に関しては閉じていることを示した。主たる貢献は、非標準的な幾何構造および群作用における細胞オートマトンの理論的基盤の拡張である。

ABSTRACT

We extend the usual definition of cellular automaton on a group in order to deal with a new kind of cellular automata, like cellular automata in the hyperbolic plane and we explore some properties of these cellular automata. This definition also allows to deal with maps, intuitively considered as cellular automata, even if they did not match the usual definition, like the Margolus billiard-ball. One of the main results is an extension of Hedlund's theorem for these cellular automata.

研究の動機と目的

• 群上の古典的細胞オートマトンの定義を、推移的群作用を持つG-集合上の細胞オートマトンに一般化すること。
• 非アーベル群、双曲的タイル張り（例：双曲平面）およびその他の非標準的格子における細胞オートマトンの理論的枠組みを提供すること。
• 細胞オートマトンの合成が細胞オートマトンのままとなる条件、特に等変性を満たさない場合の条件を調査すること。
• 一般化されたヘルドランドの定理を用いて等変細胞オートマトンを特徴付けること。
• G-集合上の細胞オートマトンにおけるメモリ集合の構造と座標系への依存関係を明らかにすること。

提案手法

• G-集合を、群Gによる左作用が推移的である集合Γとして定義し、古典的細胞オートマトンの格子構造を一般化する。
• 座標系（α₀, T）を導入し、TはG/Stab(α₀)の完全な陪集合代表系であり、1_G ∈ Tを満たす。これにより、セルのアドレス指定が可能になる。
• 有限なメモリ集合M、局所的更新規則µ: Q^M → Q、および各セルαに対してτ(x)(α) = µ(x|M)と定義されるグローバル更新規則を用いて、G-集合上の細胞オートマトンを定義する。
• 群作用と可換である等変細胞オートマトンを定義し、一般化されたヘルドランドの定理を証明する。
• ビッグ部分群と安定化部分群の概念を用いて、細胞オートマトンの合成を分析し、Eq(τ₁) ∩ Eq(τ₂)がGのビッグ部分群であれば、合成が細胞オートマトンであることを証明する。
• 双曲幾何（例：コクセター群、ポアンカレのタイル張り定理）およびマーゴラスのビリヤードボールオートマトンの例を用いて、この枠組みを具体化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群でない構造、例えば双曲平面のタイル張りやその他の非アーベル群作用において、細胞オートマトンを意味的に定義することは可能か？
• RQ2 G-集合上の2つの細胞オートマトンの合成が、自身で細胞オートマトンであるための条件は何か？
• RQ3 特に等変オートマトンに関して、G-集合上の細胞オートマトンに対してヘルドランドの定理の一般化された版は存在するか？
• RQ4 座標系の選択が、G-集合上の細胞オートマトンのメモリ集合および構造に与える影響は何か？
• RQ5 等変でないが一対一で逆写像を持たない細胞オートマトンは、G-集合上に存在するか？

主な発見

• 本稿では、G-集合上の等変細胞オートマトンに対して一般化されたヘルドランドの定理を確立し、このようなオートマトンが、局所的規則によって定義されるときかつそのときに限り、連続的かつ等変的であることを示した。
• 2つの細胞オートマトンτ₁とτ₂の合成が細胞オートマトンであることを、Eq(τ₁) ∩ Eq(τ₂)がGのビッグ部分群である場合に証明した。
• マーゴラスのビリヤードボール細胞オートマトンが、この枠組みにおいて正式に細胞オートマトンとして定義され、厳密な構成によりその普遍性が裏付けられた。
• 一般の細胞オートマトンの合成が細胞オートマトンでないことがあることを、反例（τ∘τ ≠ τ′）を用いて示し、τが等変的でないことを証明した。
• 固定されたビッグ部分群Hに関して、Hに等変的である細胞オートマトンの集合は合成に関して部分モノイドをなし、任意のビッグ部分群Hに対してCA(Γ, Q, G)はCA(Γ, Q, H)の部分モノイドであることが同定された。
• G-集合上の細胞オートマトンの最小メモリ集合は、座標系における原点の選択を除き一意的であり、これによりメモリ集合の標準的構造が確立された。