[論文レビュー] Cellular harmonic maps which are not diffeomorphisms

F. T. Farrell, Pedro Ontaneda|ArXiv.org|Nov 11, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、閉じた負に曲がったリーマン多様体間の微分同相でない調和細胞写像を構成する。有限シートの被覆上での1パラメータ族の計量を用いて、非双曲的計量から実双曲的計量へ接続する。主な結果は、次元>10のとき、このような調和写像が存在し、微分同相の列の極限であるが、微分同相でないことを示している。これは、調和写像が微分同相でなくても、それらの極限である可能性を示している。

ABSTRACT

We give examples of harmonic cellular maps between negatively curved manifolds which are not diffeomorphisms but are homotopic to diffeomorphisms.

研究の動機と目的

• 閉じた負に曲がったリーマン多様体間の調和写像が、微分同相でなくてもよいこと、すなわち、微分同相の列の極限であってもよいことを示すこと。
• 有限シート被覆上の計量変形技術を用いて、微分同相でない調和細胞写像の明示的例を構成すること。
• このような調和写像の存在と、低次元位相幾何学におけるポアンカレ予想との関係を調査すること。
• 曲率が-1に近いピンチングがなされた多様体、もしくは実双曲計量を持つ多様体間の調和写像が、なぜ微分同相でないか、またはホメオモーティズムでもないかの条件を確立すること。
• 既知の調和写像と剛性に関する結果を拡張し、写像が浸漬や単射でないにもかかわらず、細胞写像としての調和極限が得られることを示すこと。

提案手法

• 同相だが、PL同相でない閉じた負に曲がった多様体が存在し、そのうちの1つが実双曲的であることを利用している。
• 有限シート被覆を用いて、非双曲的計量の引き戻しと実双曲計量との間をつなぐ1パラメータ族の負に曲がった計量を構成している。
• 滑らかで位相的偽同倫理論の結果（特にイグサによる偽同倫空間と安定偽同倫空間の比較）を応用している。
• 調和写像がリーマン計量に連続的に依存すること（サムプソン、ショーエン＝ヤウ、イェルズ＝レマイール）を用い、極限写像が調和的であることを保証している。
• 二重ワープド積計量における断面曲率の公式を用いて、構成された例で曲率が-1にピンチングされていることを確認している。
• シャーレマンの結果を用いて、特定の調和写像がホメオモーティズムで近似できないことと、ポアンカレ予想との関係を結んでいる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた負に曲がったリーマン多様体間の調和写像が、微分同相でない細胞写像である可能性はあるか？
• RQ2 1パラメータ族の微分同相の列の極限であるにもかかわらず、調和写像が微分同相でないことは可能か？
• RQ3 このような調和写像の存在と、次元3におけるポアンカレ予想との関係は何か？
• RQ4 1つの多様体が実双曲的であり、もう一方が-1にεの範囲で曲率がピンチングされている場合、このような調和写像は存在可能か？
• RQ5 どのような位相的または幾何的条件下で、調和写像がホメオモーティズムで近似できないか？

主な発見

• 任意の次元 m > 10 に対して、微分同相でない調和細胞写像 h: M₁ → M₂ が、閉じた負に曲がった m 次元リーマン多様体 M₁, M₂ 間に存在する。
• 定理1における調和写像 h は、微分同相で近似可能であり、すなわち滑らかな埋め込みの列の極限である。
• M₁ または M₂ のどちらかを実双曲多様体に選び、もう一方を任意の ε > 0 に対して-1にεの範囲で曲率がピンチングされた多様体にできる。
• この構成は、非双曲的計量から実双曲計量へ接続する有限シート被覆上の1パラメータ族の負に曲がった計量に依存している。
• 調和写像は滑らかな埋め込みでなく、ある点で微分が単射でない。
• 定理2の付録において、微分同相にホモトープであるがホメオモーティズムで近似できない調和写像 k: M → N が構成されている。これはポアンカレ予想と関連している。