[論文レビュー] Cellularity of certain quantum endomorphism algebras

H. H. Andersen, G Lehrer+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子群 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ のテンソル積の自己準同型代数 $\mathrm{End}_{{\rm{U}}_{\widetilde{A}}}(\Delta_{\widetilde{A}}(d)^{\otimes r})$ に対して細胞構造を確立し、それが特定の左および右の集合に制限された図形を持つ、Temperley-Lieb代数 $\mathrm{TL}_{rd}(\widetilde{A})$ の細胞部分代数に同型であることを示している。主な結果は、根の単位根における特殊化代数の単純モジュールの次元が、$U_\zeta(\mathfrak{sl}_2)$ のティルティングモジュールの重み多重度と一致し、両者とも分解数と細胞理論によって決定されることである。

ABSTRACT

We exhibit for all positive integers r, an explicit cellular structure for the endomorphism algebra of the r'th tensor power of an integral form of the Weyl module with highest weight d of the quantised enveloping algebra of sl2. When q is specialised to a root of unity of order bigger than d, we consider the corresponding specialisation of the tensor power. We prove one general result which gives sufficient conditions for the commutativity of specialisation with the taking of endomorphism algebras, and another which relates the multiplicities of indecomposable summands to the dimensions of simple modules for an endomorphism algebra. Our cellularity result then allows us to prove that knowledge of the dimensions of the simple modules of the specialised cellular algebra above is equivalent to knowledge of the weight multiplicities of the tilting modules for the specialised quantum group. In the final section we independently determine the weight multiplicities of indecomposable tilting modules for quantum sl2, and the decomposition numbers of the endomorphism algebras. We indicate how either one of these sets of numbers determines the other.

研究の動機と目的

• 量子群 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ の整数的形上の自己準同型代数 $\mathrm{End}_{{\rm{U}}_{\widetilde{A}}}(\Delta_{\widetilde{A}}(d)^{\otimes r})$ に対して細胞構造を確立すること。
• 特定の条件下で特殊化が自己準同型代数の取り扱いと可換になることを証明し、根の単位根における代数の研究を可能にすること。
• 特殊化された自己準同型代数の単純モジュールの次元が、$U_\zeta(\mathfrak{sl}_2)$ のティルティングモジュールの重み多重度とどのように関係するかを明らかにすること。
• 非分解的ティルティングモジュールの重み多重度と自己準同型代数の分解数を独立に計算し、それらが互いに決定し合うことを示すこと。

提案手法

• Temperley-Lieb代数 $\mathrm{TL}_{rd}(\widetilde{A})$ からの平面図形を用いて、$E_r(d,\widetilde{A}) = \mathrm{End}_{{\rm{U}}_{\widetilde{A}}}(\Delta_{\widetilde{A}}(d)^{\otimes r})$ の明示的な細胞基底を構成する。
• 左および右の集合が $\{d, 2d, \dots, (r-1)d\}$ に含まれる図形に基底を制限し、量子群作用と整合性を保つようにする。
• ブレード群の $R$-行列による作用を用いて、ホモオモルフィズム $\eta: \widetilde{A}B_r \to E_r(d,\widetilde{A})$ を定義するが、$d > 2$ の場合の全射性は未証明のままとする。
• 整数的形を根の単位根 $\zeta$（$d$ より大きい位数）で特殊化し、$E_\zeta(d,r)$ を得る。適切な条件下で、特殊化が自己準同型代数と可換であることを証明する。
• 細胞代数理論を適用し、$E_\zeta(d,r)$ の分解数がセルモジュールの合成因子と関係することを示し、すべての分解数が 0 または 1 であることを証明する。
• Temperley-Lieb代数 $\mathrm{TL}_{dr,\zeta}(\mathbb{C})$-モジュールから $E_\zeta(d,r)$-モジュールへの正確な函手 $\mathcal{F}_d$ を用いて、Temperley-Lieb代数の性質を自己準同型代数に移す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Weylモジュールのテンソル積の自己準同型代数 $\mathrm{End}_{{\rm{U}}_{\widetilde{A}}}(\Delta_{\widetilde{A}}(d)^{\otimes r})$ に対して、明示的な細胞構造を構成できるか？
• RQ2 根の単位根における特殊化が、自己準同型代数の取り扱いと可換になる条件は何か？
• RQ3 特殊化された自己準同型代数の単純モジュールの次元は、$U_\zeta(\mathfrak{sl}_2)$ のティルティングモジュールの重み多重度とどのように関係するか？
• RQ4 $E_\zeta(d,r)$ の分解数とは何か？ そしてセルモジュールの構造とどのように関係するか？
• RQ5 非分解的ティルティングモジュールの重み多重度は独立に計算可能か？ そして、それらが $E_\zeta(d,r)$ の分解数を決定するか？

主な発見

• 自己準同型代数 $E_r(d,\widetilde{A})$ は、左および右の集合が $\{d, 2d, \dots, (r-1)d\}$ の部分集合である平面図形に対応する基底を持つ、Temperley-Lieb代数 $\mathrm{TL}_{rd}(\widetilde{A})$ の細胞部分代数に同型である。
• $\zeta$ が $d$ より大きい位数の根の単位根であるとき、$E_r(d,\widetilde{A})$ の特殊化 $E_\zeta(d,r)$ は細胞代数であり、そのすべての分解数は 0 または 1 である。
• $E_\zeta(d,r)$ の単純モジュールの次元は、$U_\zeta(\mathfrak{sl}_2)$ のティルティングモジュールの重み多重度と一致し、深い構造的関係を確立する。
• $E_\zeta(d,r)$ のセルモジュール $W_\zeta(t)$ は、$t \in \mathcal{N}_2$ かつ $g(t) \leq dr$ のとき、合成因子 $L_\zeta(t)$ と $L_\zeta(g(t))$ をそれぞれ重複度 1 で持ち、それ以外の場合は単純である。
• $E_\zeta(d,r)$ の分解数は、そのセルモジュールの構造と正確な函手 $\mathcal{F}_d$ の作用によって完全に決定され、非ゼロの単純モジュールを保存する。
• 非分解的ティルティングモジュールの重み多重度は独立に計算され、$E_\zeta(d,r)$ の分解数と等価であることが示され、互いに決定し合うことが確認された。