[論文レビュー] Central and non-central limit theorems for weighted power variations of fractional Brownian motion

Ivan Nourdin, David Nualart+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、分数 Browm運動の重み付き $ q \geq 2 $ 次の変動に関する中心極限定理および非中心極限定理を確立し、漸近的挙動がヘンスパラメータ $ H $ に強く依存することを示している。$ \frac{1}{2q} < H \leq 1 - \frac{1}{2q} $ の場合、極限は条件付きガウス分布となる。$ H < \frac{1}{2q} $ の場合、収束先はガウス分布でない極限であり、分数 Browm運動にのみ依存する。$ H > 1 - \frac{1}{2q} $ の場合、収束先は $ q $ 次のエルミート過程に関するストキャスティック積分である。

ABSTRACT

In this paper, we prove some central and non-central limit theorems for renormalized weighted power variations of order q&gt;=2 of the fractional Brownian motion with Hurst parameter H in (0,1), where q is an integer. The central limit holds for 1/(2q) 1-1/(2q), we show the convergence in L^2 to a stochastic integral with respect to the Hermite process of order q.

研究の動機と目的

• 整数 $ q \geq 2 $ に対する分数 Browm運動の重み付き $ q $ 次変動の漸近的挙動を分析すること。
• 関数 $ f $ が滑らかであるとき、正規化された重み付き $ q $ 次変動 $ \sum_{k=1}^{2^n} f(B_{(k-1)2^{-n}})(\Delta B_{k2^{-n}})^q $ が $ n \to \infty $ のときの極限分布を特定すること。
• ヘンスパラメータ $ H \in (0,1) $ の値に応じて極限挙動を分類すること。特に、中心極限定理と非中心極限定理の領域を区別すること。
• $ H < \frac{1}{2q} $ または $ H > 1 - \frac{1}{2q} $ の場合に $ L^2 $ 収束を示し、極限過程を同定すること。
• マルコフ的でない、長-range 依存性を持つ設定において、二次変動に対する古典的中心極限定理を高次変動に拡張すること。

提案手法

• インクリメント $ \Delta B_{k2^{-n}} $ の高次モーメントをエルミート多項式展開により分解することで、重み付き和の漸近的挙動を解析可能にする。
• ウィENER カオス展開および多重ストキャスティック積分の理論を用いて、変動を正規直交成分に分解する。
• $ f \in \mathscr{C}^{2q} $ かつ導関数が多項式的成長を示す条件 $ (\mathbf{H}_q) $ を採用することで、$ L^2 $ 収束を保証する。
• カオス成分 $ V_n^{(p)}(f) $ の $ L^2 $ ノルムを分析し、$ H $ と $ p $ に依存する指数 $ 2 - 2(1-H)p $ に基づいて、その減少または収束を示す。
• 関数 $ f(B_1) $ を5次までテイラー展開し、$ H > 1/6 $ のとき剰余項が確率的に消えることを利用して、関数変動と変動の関係を確立する。
• カオス成分の収束により極限分布を同定する：$ H \in (\frac{1}{2q}, 1 - \frac{1}{2q}) $ の場合ガウス分布、$ H > 1 - \frac{1}{2q} $ の場合エルミート過程、$ H < \frac{1}{2q} $ の場合非ガウス極限。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数 Browm運動の重み付き $ q $ 次変動の極限分布は、$ q \geq 2 $ かつ $ H \in (0,1) $ のときどのように定まるか？
• RQ2 極限はヘンスパラメータ $ H $ にどのように依存するか。特に、閾値 $ \frac{1}{2q} $ および $ 1 - \frac{1}{2q} $ との関係はどうか？
• RQ3 $ H < \frac{1}{2q} $ の場合、非ガウス極限への収束を特徴づけられるか。この極限の性質は何か？
• RQ4 $ H > 1 - \frac{1}{2q} $ の場合、何が起こるか？極限は $ q $ 次のエルミート過程に関するストキャスティック積分に対応するか？
• RQ5 カオス成分の $ L^2 $ ノルムが減少する条件は何か。この減少は変動の漸近的挙動にどのように影響するか？

主な発見

• $ \frac{1}{2q} < H \leq 1 - \frac{1}{2q} $ の場合、正規化された重み付き $ q $ 次変動は法的に条件付きガウス分布に収束する。
• $ H < \frac{1}{2q} $ の場合、重み付き $ q $ 次変動は $ L^2 $ で、分数 Browm運動にのみ依存する極限に収束する。
• $ H > 1 - \frac{1}{2q} $ の場合、正規化された和は $ L^2 $ で $ q $ 次のエルミート過程に関するストキャスティック積分に収束し、非中心極限定理を示す。
• 高次モーメントのエルミート多項式への分解とカオス成分の解析により、エルミート過程への収束が確立される。
• $ L^2 $ ノルム $ \|V_n^{(p)}(f)\|_{L^2} $ は $ O(2^{n(2-2(1-H)p)}) $ のオーダーで減少し、$ H $ と $ p $ に依存して収束の性質が決まる。
• $ H > \frac{1}{6} $ の場合、$ f(B_1) $ のテイラー展開の剰余項は確率的に消えるため、証明で用いられる漸近展開の有効性が保証される。