[論文レビュー] Central extensions and conformal derivations of a class of Lie conformal algebras

Yanyong Hong|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、関連するゲルファンド＝ドルフマン双代数を通じて、二次的リーホモロジー代数の中心拡大および conformal 衍生を研究する。中心拡大が特定の双線形形式に対応すること、および conformal 衍生が双代数上の特定の作用素に対応することを確立し、単位元を持つノヴィコフ代数に関連する二次的リーホモロジー代数のすべての conformal 衍生が内因的であることを証明するとともに、特定のケースにおけるコホロロジーの消滅結果を計算する。

ABSTRACT

A quadratic Lie conformal algebra corresponds to a Hamiltonian pair in \cite{GD}, which plays fundamental roles in completely integrable systems. Moreover, it also corresponds to certain compatible pairs of a Lie algebra and a Novikov algebra which was called Gel'fand-Dorfman bialgebra by Xu in \cite{X1}. In this paper, central extensions and conformal derivations of quadratic Lie conformal algebras are studied in terms of Gel'fand-Dorfman bialgebras. It is shown that central extensions and conformal derivations of a quadratic Lie conformal algebra are related with some bilinear forms and some operators of the corresponding Gel'fand-Dorfman bialgebra respectively.

研究の動機と目的

• 二次的リーホモロジー代数の中心拡大および conformal 衍生を統一的な枠組みで理解すること。
• これらの構造を、対応するゲルファンド＝ドルフマン双代数上の双線形形式および作用素に関連付けること。
• conformal 衍生がいつ内因的であるか、中心拡大がいつ自明であるかを特定すること。
• 特定のリーホモロジー代数に対して、$ H^2(R, \mathbb{C}\mathfrak{c}_\beta) $ および $ H^2(R, \mathbb{C}[\partial]\mathfrak{c}) $ のコホロロジー群を計算すること。

提案手法

• 二次的リーホモロジー代数を、リーリング代数とノヴィコフ代数が適合するゲルファンド＝ドルフマン双代数として表現する。
• 特定の代数的恒等式を満たす双代数上の双線形形式を用いて中心拡大を特徴付ける。
• 双代数からの作用素の持ち上げと $ \partial $-作用を含む関数方程式の解法によって conformal 衍生を分析する。
• コホロロジー的技法を用いて $ H^2(R, \mathbb{C}\mathfrak{c}_\beta) $ および $ H^2(R, \mathbb{C}[\partial]\mathfrak{c}) $ を計算し、$ \beta \neq 0 $ のとき消滅することを示す。
• 分解 $ D = D^0 + \partial D^1 $ を用いて導出を分類し、内因的および外因的成分を分離する。
• 射影作用素および係数比較を用いて、$ \lambda $-括弧恒等式から生じる再帰関係を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次的リーホモロジー代数の中心拡大は、そのゲルファンド＝ドルフマン双代数上の双線形形式とどのように関係するか？
• RQ2 どのような条件下で、このような代数の conformal 衍生が内因的であるか？
• RQ3 一様次元中心を持つ二次的リーホモロジー代数に対して、第二コホロロジー群 $ H^2(R, \mathbb{C}\mathfrak{c}_\beta) $ の構造は何か？
• RQ4 リーホモロジー代数 $ R(\alpha,\beta) $ の conformal 衍生は、その基盤となる双代数上の作用素によって完全に記述可能か？
• RQ5 パラメータ $ \beta $ は、中心拡大の自明性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 単位を持つノヴィコフ代数に対応する二次的リーホモロジー代数の中心拡大は、関連するゲルファンド＝ドルフマン双代数上の双線形形式によって分類される。
• $ \beta \neq 0 $ のとき $ H^2(R, \mathbb{C}\mathfrak{c}_\beta) = 0 $ である。これは、この場合に非自明な中心拡大が存在しないことを示している。
• 同じクラスの代数に対して $ H^2(R, \mathbb{C}[\partial]\mathfrak{c}) = 0 $ である。これは、自由階数1の $ \mathbb{C}[\partial] $-加群による拡大が自明であることを示している。
• 単位を持つノヴィコフ代数に関連する二次的リーホモロジー代数のすべての conformal 衍生は内因的である。すなわち、$ \text{CDer}(R) = \text{CInn}(R) $ である。
• $ R(1,\beta) $ の場合、conformal 衍生には、$ Q_\lambda(L) = W $、$ Q_\lambda(W) = 0 $ を満たす導出 $ Q $ で張られる外因的成分 $ M $ が含まれるため、$ \text{CDer}(R(1,\beta)) = \text{CInn}(R(1,\beta)) \oplus M $ である。
• 一般の conformal 代数 $ gc_1 $ に対して、conformal 衍生は $ \text{CDer}(R) = M \oplus \text{CInn}(R) $ に分解され、ここで $ M $ は $ Q_\lambda(L_i) = (i+1)L_{i-1} $ で張られる。