[論文レビュー] Central extensions of groups and adjoint groups of quandles

Takefumi Nosaka|arXiv (Cornell University)|May 12, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、四則代数的型 $t_X$ における普遍中心拡大を $t_X$- torsion を除いて用いることで、四則代数 $X$ の随伴群 $\mathrm{As}(X)$ を計算する手法を提示する。$H_2^{\mathrm{gr}}(\mathrm{As}(X))$ が $t_X$ で消えることを証明し、$\ker(\psi_X)$ が $[1/t_X]$-同型で $\mathbb{Z} \oplus H_2^{\mathrm{gr}}(\mathrm{Inn}(X))$ に同型であることを示す。これにより、連結な四則代数における第二四則代数ホモロジーの明示的計算が可能になる。

ABSTRACT

This paper develops an approach for describing centrally extended groups, as determining the adjoint groups associated with quandles. Furthermore, we explicitly describe such groups of some quandles. As a corollary, we determine some second quandle homologies.

研究の動機と目的

• 四則代数 $X$ の随伴群 $\mathrm{As}(X)$ を直接扱うのが難しい場合に、実用的な代数的手法を構築すること。
• 随伴群 $\mathrm{As}(X)$、内部自己同型群 $\mathrm{Inn}(X)$、および群ホモロジー $H_2^{\mathrm{gr}}(\mathrm{As}(X))$ 間の関係を明確にすること。
• 特定の四則代数に対して、$H_2^Q(X)$（第二四則代数ホモロジー）を torsion を除いて決定すること。
• 随伴群 $\mathrm{As}(X)$ が $t_X$-torsion を除いて $\mathrm{Inn}(X)$ の普遍中心拡大として機能することを確立し、四則代数の型 $t_X$ の役割を強調すること。

提案手法

• すべての $x,y \in X$ に対して、$e_{x\lhd y}^{-1} e_y^{-1} e_x e_y = 1$ という関係を持つ生成元 $e_x$ を用いて、随伴群 $\mathrm{As}(X)$ を定義する。
• 四則代数の型 $t_X$ を定義する。これは、すべての $x,y \in X$ に対して $x = x \lhd^N y$ が成り立つ最小の $N$ である。
• 作用 $x \cdot e_y = x \lhd y$ を用いて、$\mathrm{As}(X)$ の右作用を定義し、その軌道が連結成分を形成することを示す。
• 各軌道 $i$ に対して、$\varepsilon_i: \mathrm{As}(X) \to \mathbb{Z}$ を定義し、$\mathrm{As}(X)_{\mathrm{ab}} \cong \mathbb{Z}^{\oplus \mathrm{O}(X)}$ を示す。
• チェインホモトピー $h_n$ を構成し、$t \cdot c_n$ が零ホモトープであることを示す。ここで $c_n$ は四則代数チェインを群チェインへ写像する。
• $t \cdot c_*$ が零ホモトープであることを証明し、$t \cdot H_n(BX) \to H_n^{\mathrm{gr}}(\mathrm{As}(X))$ が消えることを示す。これは主定理の根拠となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四則代数 $X$ の随伴群 $\mathrm{As}(X)$ を、直接計算が困難な場合に明示的に計算するにはどうすればよいか？
• RQ2 $\mathrm{As}(X)$、$\mathrm{Inn}(X)$、および第二群ホモロジー $H_2^{\mathrm{gr}}(\mathrm{As}(X))$ 間の正確な関係は何か？
• RQ3 四則代数の型 $t_X$ は、$\mathrm{As}(X)$ 及びそのホモロジー構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 $H_2^Q(X)$（第二四則代数ホモロジー）は $\mathrm{As}(X)$ から決定可能か？ もしそうなら、どのような条件下で可能か？
• RQ5 $c_*: H_n(BX) \to H_n^{\mathrm{gr}}(\mathrm{As}(X))$ は、$t_X$-torsion を除いてどの程度消えるか？

主な発見

• 任意の型 $t_X$ の連結四則代数 $X$ に対して、第二群ホモロジー $H_2^{\mathrm{gr}}(\mathrm{As}(X))$ は $t_X$ で消える。
• $\psi_X: \mathrm{As}(X) \to \mathrm{Inn}(X)$ の作用写像の核 $\ker(\psi_X)$ は、$[1/t_X]$-同型で $\mathbb{Z} \oplus H_2^{\mathrm{gr}}(\mathrm{Inn}(X))$ に同型である。
• $t_X \cdot c_*: H_n(BX) \to H_n^{\mathrm{gr}}(\mathrm{As}(X))$ は零ホモトープであり、ホモロジーにおける $t_X$-torsion の消滅を示唆する。
• 随伴群 $\mathrm{As}(X)$ は、$t_X$-torsion を除いて $\mathrm{Inn}(X)$ の普遍中心拡大として機能する。
• 本手法により、Coxeter 群に関連する四則代数など、特定の四則代数に対して $H_2^Q(X)$ の明示的計算が torsion を除いて可能になる。
• チェインホモトピー $h_n$ の構成により、$t \cdot c_n$ がゼロにホモトープであることが証明され、$t$-torsion がホモロジーで消えることが確認された。