[論文レビュー] Central extensions of the Heisenberg algebra

Luigi Accardi, Andreas Boukas|ArXiv.org|Oct 19, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$CEHeis$ と表記される、非自明な中心拡大をもつヘイゼンベルク代数を構築し、解析している。これは可解な4次元 $*$-リー代数をなす。実形式の $CEHeis$ が15種類の分類済み実4次元可解リー代数の一つ（$ \eta_4$）に一致することを証明し、シュレーディンガー代数の部分代数として実現し、座標に関して非線形（二次的）である群則を指数化によって得ることで、明示的なユニタリ表現が可能になる。

ABSTRACT

We study the non-trivial central extensions $CEHeis$ of the Heisenberg algebra $Heis$ recently constructed in {AccBouCE}. We prove that a real form of $CEHeis$ is one the fifteen classified real four--dimensional solvable Lie algebras. We also show that $CEHeis$ can be realized (i) as a sub--Lie--algebra of the Schroedinger algebra and (ii) in terms of two independent copies of the canonical commutation relations (CCR). This gives a natural family of unitary representations of $CEHeis$ and allows an explicit determination of the associated group by exponentiation. In contrast with $Heis$, the group law for $CEHeis$ is given by nonlinear (quadratic) functions of the coordinates.

研究の動機と目的

• 2-コサイクルを用いてヘイゼンベルク代数 $Heis$ の非自明な中心拡大を構築・分類すること。
• 中心拡大された代数 $CEHeis$ の実形式が、4次元実可解リー代数の分類においてどの同型類に属するかを特定すること。
• $CEHeis$ をシュレーディンガー代数の部分代数として実現し、2つの独立した正準可換関係（CCR）の表現を用いて表現すること。
• リー代数の指数化により、関連する中心拡大ヘイゼンベルク群の群則を導出すること。
• 代数的構造と群則を用いて、$CEHeis$ の自然なユニタリ表現の族を構成すること。

提案手法

• 中心拡大 $CEHeis$ は、$\lambda \in \mathbb{R}$ および $z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ でパラメータ化された2-コサイクル $\phi$ を用いて定義され、中心元 $E$ を含む非自明な交換関係が得られる。
• 生成子の実分解 $p = \frac{1}{2}(a + a^\dagger)$, $q = \frac{i}{2}(a^\dagger - a)$, $H = -i h / 2$ を用いて、$E$ が自己共役で、$H$ が反自己共役であるように、$CEHeis$ の実形式が構成される。
• 構造定数を $b = \mathrm{Im}(z)/2$, $c = \mathrm{Re}(z)/2$ とすることで、4次元実可解リー代数の分類におけるリー代数 $\eta_4$ と一致させられる。
• バーガー＝キャンベル＝ハウスドルフの公式を用いて群則が導出され、群パrameter $u,v,w,y \in \mathbb{C}$ に関する非線形（二次的）な合成則が得られる。
• ユニタリ表現は、$CEHeis$ をシュレーディンガー代数の部分代数として実現し、2つの独立したCCR表現を用いて構成される。
• 群則は明示的に $g(\alpha,\beta,\gamma,\delta)g(A,B,C,D) = g(\alpha+A, \beta+B+\gamma A, \gamma+C, \cdots)$ と計算され、中心成分に二次補正項が現れる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心拡大ヘイゼンベルク代数 $CEHeis$ は、どの実4次元可解リー代数の同型類に属するか？
• RQ2 $CEHeis$ はシュレーディンガー代数の部分代数として実現可能か？
• RQ3 $CEHeis$ は2つの独立した正準可換関係（CCR）の表現からどのように構成できるか？
• RQ4 中心拡大ヘイゼンベルク群の明示的な群則は何か？ そして、標準的ヘイゼンベルク群とはどのように異なるか？
• RQ5 $CEHeis$ の代数的実現から生じるユニタリ表現の構造はどのようなものか？

主な発見

• 実形式の $CEHeis$ は、15種類の分類済み実4次元可解リー代数の一つである $\eta_4$ と同型である。
• 生成子 $a, a^\dagger, h, E$ が拡張された交換関係を満たすことで、$CEHeis$ はシュレーディンガー代数の部分代数として実現される。
• 2つの独立したCCRの表現を用いることで、自然なユニタリ表現の族が得られる。
• 中心拡大ヘイゼンベルク群の群則は非線形であり、中心成分に群パrameterの二次項 $\left(\frac{\gamma A^2}{2} + \beta A\right)z + \left(\frac{\gamma^2 A}{2} + \gamma B\right)\bar{z}$ が現れる。
• 群則はバーガー＝キャンベル＝ハウスドルフの公式を用いて導出され、交換関係の繰り返し適用と指数関数的恒等式による検証がなされた。
• 群は合成則 $g(\alpha,\beta,\gamma,\delta)g(A,B,C,D) = g(\alpha+A, \beta+B+\gamma A, \gamma+C, \cdots)$ に関して閉じており、中心項にパラメータの二次式による補正が加わる。